三垂线定理如何证明：在四面体A-BCD中,如果两组对了棱AB垂直CD,DB垂直AC,那么第三组对棱DA垂直BC

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 14:49:16

三垂线定理如何证明：在四面体A-BCD中,如果两组对了棱AB垂直CD,DB垂直AC,那么第三组对棱DA垂直BC
三垂线定理
如何证明：在四面体A-BCD中,如果两组对了棱AB垂直CD,DB垂直AC,那么第三组对棱DA垂直BC

三垂线定理如何证明：在四面体A-BCD中,如果两组对了棱AB垂直CD,DB垂直AC,那么第三组对棱DA垂直BC
AB⊥DC……①
设AO⊥平面BCD.O为垂足,
则AO⊥BC.AO⊥CD……②.
从①②CD⊥平面AOB.
在平面BCD上,过O作OE‖DC（E,C同向）
OA,OB,OE相互垂直.
取O为原点,OB为X轴正向,OE为Y轴正向,OA为Z轴正向.
则A,B,C,D有：A（0,0,c）,B（a,0,0）,C（-d,e,0）,D（-d,f,0）.
六条掕向量：
AB＝｛a,0,-c｝,AC＝｛-d,e,-c｝,AD＝｛-d,f,-c｝
BC＝｛-d-a,e,0｝,BD＝｛-d-a,f,0｝,CD＝｛0,f-e,0｝.
AC⊥BD:AC·BD＝0.（·为数积）
（-d-a）×（-d）＋e×f＋（-c）×0＝0.……③
要证AD⊥BC,必证AD·BC＝0.
即:（-d）×（-d-a）＋f×e＋（-c）×0＝0……④
③④左边一致,∵③成立.∴④成立.
从而证明了AD⊥BC.

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