作业帮一道高中关于正余弦订立的题目~△ABC的三边a,b,c所对的三个顶点分别为A,B,C,且面积可以表示为S=1/2*(a^2)-1/2*(b-c)^2,那么角A的正弦值为______.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 19:57:16
一道高中关于正余弦订立的题目~△ABC的三边a,b,c所对的三个顶点分别为A,B,C,且面积可以表示为S=1/2*(a^2)-1/2*(b-c)^2,那么角A的正弦值为______.
一道高中关于正余弦订立的题目~
△ABC的三边a,b,c所对的三个顶点分别为A,B,C,且面积可以表示为S=1/2*(a^2)-1/2*(b-c)^2,那么角A的正弦值为______.
一道高中关于正余弦订立的题目~△ABC的三边a,b,c所对的三个顶点分别为A,B,C,且面积可以表示为S=1/2*(a^2)-1/2*(b-c)^2,那么角A的正弦值为______.
sinA=4/5
思路：
已知S=1/2*(a^2)-1/2*(b-c)^2,观察已知条件与所求的问题,我们发现,已知条件是三角形的边长的一条等式,所求为三角形的角度,中间需要将边长转化为角,而且已知的公式是关于边长的平方,所以我们自然就想到了公式cosA=(b^2+c^2-a^2)/2*b*c.其实还有一条隐含的条件S=1/2*b*c*sinA(这个公式一般是不会直接出现题目中,也算是必背公式).
也就是已知：在A,B,C是三角形的内角
S=1/2*(a^2)-1/2*(b-c)^2①
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2*b*c②
S=1/2*b*c*sinA③
求 sinA的值
(注意求解是要将a,b,c用A的表示)
S=1/2*(a^2)-1/2*(b-c)^2=1/2[a^2-b^2+c^2-2*b*c]
代入②,得S=-b*c*cosA-b*c
代入③,得1/2*b*c*sinA=-b*c*cosA-b*c
化简得1/2*sinA+cosA=1,（sinA）^2+（cosA）^2=1
解得sinA=4/5或sinA=0（舍去）
s=1/2(b^2+c^2-2bc(cosA)-b^2-c^2+2bc)=1/2bcsinA………………①
cosA^2=1-sinA^2……………………………………………………②
由①②
得sinA