作业帮求正解.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:00:52
求正解.
求正解.
求正解.
为了书写方便,我们可以把a-1,b-1看成一个整体,记为m=a-1,n=b-1
也就是m,n都是大于0的数,需证明(m+1)^2 /n+(n+1)^2 /m>=8
这下看起来不就简单了其中^表示次方数,^2表示2次方也叫平方
(m+1)^2=(m-1)^2 +4*m>=4m 当m=1取等号
(n+1)^2=(n-1)^2 +4*n>=4n
那么(m+1)^2 /n+(n+1)^2 /m>=4m/n+4n/m
这下看起来就不费劲了吧
m/n+n/m>=2*(m/n * n/m)^0.5=2 ^0.5是0.5次方也叫开方
当m=n时取等号
综上所述
已经得证了 其中当m=n=1时取等号,也就是a=b=2时取等号
当然 如果觉得这么写还是有点突兀,那么我们就慢慢书写也是一样,虽然可能看着费劲,不过不用绕弯弯：
a^2=(a-1+1)^2=(a-1-1)^2+4*(a-1)>=4*(a-1) 当a-1=1,a=2时取等号
同理b^2>=4*(b-1)
那么
a^2/(b-1)+b^2/(a-1)>=4*(a-1)/(b-1)+4*(b-1)/(a-1)>=8 当a-1=b-1=1,a=b=2时取等号
证明很简单,关键在与你已经知道这个是证明题了,那么这个结论就必然是正确的,可以由此反向推理,尽量往结论上靠就可以了
不妨设a>=b>1，则a^2>=b^2,1/(b-1)>=1/(a-1)根据排序不等式有
a^2/(b-1)+b^2/(a-1)>=a^2/(a-1)+b^2/(b-1)
而a^2/(a-1)=a-1+1/(a-1)+2>=4,同理b^2/(b-1)>=4
故a^2/(b-1)+b^2/(a-1)>=8
希望能够帮到你，如有疑问欢迎追问
当A方/（B-1）=B方/（A-1）时
A方（A-1）=B方（B-1）
A立-A方-B立+B方=0
（A-B）（A方+AB+B方）-（A-B）（A+B）=0
（A-B）（A方+AB+B方-A-B）=0
因A方-A大于0，B方-B大于0，即A方+AB+B方-A-B大于0
则A-B=0，A=B
则原不等式左边大于等于2A方/（A-1）
其...
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当A方/（B-1）=B方/（A-1）时
A方（A-1）=B方（B-1）
A立-A方-B立+B方=0
（A-B）（A方+AB+B方）-（A-B）（A+B）=0
（A-B）（A方+AB+B方-A-B）=0
因A方-A大于0，B方-B大于0，即A方+AB+B方-A-B大于0
则A-B=0，A=B
则原不等式左边大于等于2A方/（A-1）
其倒数=1/2A-1/2A方，当A=2时，有最大值=1/8
即2A方/（A-1）有最小值=8
则原不等式得证
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