作业帮数学题求助f(g(x)) = g(f(x))已知f（x）定义域是R ,g(x) = ax^2+bx+c,且f(g(x)) = g(f(x)),其中a b c是任意常数,求f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 02:32:02
数学题求助f(g(x)) = g(f(x))已知f（x）定义域是R ,g(x) = ax^2+bx+c,且f(g(x)) = g(f(x)),其中a b c是任意常数,求f(x)
数学题求助f(g(x)) = g(f(x))
已知f（x）定义域是R ,g(x) = ax^2+bx+c,
且f(g(x)) = g(f(x)),其中a b c是任意常数,求f(x)
数学题求助f(g(x)) = g(f(x))已知f（x）定义域是R ,g(x) = ax^2+bx+c,且f(g(x)) = g(f(x)),其中a b c是任意常数,求f(x)
f(g(0))=f(c)=g(f(0))=a*(f(0))²+b*f(0)+c
即f(c)=a*(f(0))²+b*f(0)+c
c是任意常数 令c=0
f（0）=a*(f(0))²+b*f(0)+f(0)
a,b也是任意常数 故f(0)=0
f(x)=x
由于f(g(x)) = g(f(x))，
所以：
f(x）和g(x)是互为反函数的。
所以，由g(x) = ax^2+bx+c,得到：x=±√[g(x)/a+b/(4a^2)]-b/2a
即，反函数为:y=±√[x/a+b/(4a^2)]-b/2a
所以：f(x)=±√[x/a+b/(4a^2)]-b/2a（a≠0）<...
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由于f(g(x)) = g(f(x))，
所以：
f(x）和g(x)是互为反函数的。
所以，由g(x) = ax^2+bx+c,得到：x=±√[g(x)/a+b/(4a^2)]-b/2a
即，反函数为:y=±√[x/a+b/(4a^2)]-b/2a
所以：f(x)=±√[x/a+b/(4a^2)]-b/2a（a≠0）
特别的，当a=0时，f(x)=(x-c)/b(b≠0)
当a=b=0时，f(x)=g(x).
注明：这是解决这道题目的最关键之所在。只要读懂这点，题目就化为求解反函数的问题了。
那么，为什么他们是互为反函数的呢？
其实，你观察f(g(x)) = g(f(x))，就会发现，
等式左边，g(x)是f(x) 的定义域;等式右边,g(x)是f(x)的值域。
因此，他们是互为反函数的。
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