作业帮在正项等比数列｛an}中,a1=2,a5=32,若bn=n/an,且数列{bn}的前n项和记为Sn,求证Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 06:27:47
在正项等比数列｛an}中,a1=2,a5=32,若bn=n/an,且数列{bn}的前n项和记为Sn,求证Sn
在正项等比数列｛an}中,a1=2,a5=32,若bn=n/an,且数列{bn}的前n项和记为Sn,求证Sn
在正项等比数列｛an}中,a1=2,a5=32,若bn=n/an,且数列{bn}的前n项和记为Sn,求证Sn
证明：
{an}为正项,故q>0
由a5=a1·q^4 ==>q^4=16
得：q=2
an=2^n
bn=n/2^n
Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+……+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
2Sn=1+1+3/2^2+4/2^3+……+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1)
下式减去上式得：
Sn＝1+1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1) -n/2^n
显然,前面n项为等比数列,首项1,公比0.5
故Sn＝2(1-1/2^n) -n/2^n＝2- (n+2)/2^n
证明: ∵a1=2 a5=a1q^4=32
∴q=2 an=2×2^(n-1)=2^n
即bn=2^n
Sn=1/2+2/4+3/8+……+n/2^n ①
①×1/2，得
1/2Sn=1/4+2/8+3/16+……+（n-1）/2^n+n...
全部展开
证明: ∵a1=2 a5=a1q^4=32
∴q=2 an=2×2^(n-1)=2^n
即bn=2^n
Sn=1/2+2/4+3/8+……+n/2^n ①
①×1/2，得
1/2Sn=1/4+2/8+3/16+……+（n-1）/2^n+n/2^(n+1) ②
①-②,得
1/2Sn=1/2+1/4+1/8+……+1/2^n-n/2^(n+1)
1/2Sn=1-(n+2)/2^(n+1)
Sn=2-(n+2)/2^n＜2
即Sn<2
收起
1. 可以知道a_n=2^n.
2. b_n=n/(2^n).
3. 建立b_n与b_{n-1}的关系，发现b_n=1/(2^{n-1})+(n-1)/2^{n-1}-n/2^n.
4. 得到序列{2b_n - b_{n-1}}=1/2^{n-1}，这个式子左边为S_n + b_n，右边为2-1/2^{n-1}.
5. S_n=2-1/2^{n-1}-n/(2^n)<2.
6. OK, 得证！