由点p（0,1）引圆x2+y2=4的割线l交圆于A,B两点,使得三角形OAB的面积是√7/2,求直线l的方程

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 07:08:08

由点p（0,1）引圆x2+y2=4的割线l交圆于A,B两点,使得三角形OAB的面积是√7/2,求直线l的方程
由点p（0,1）引圆x2+y2=4的割线l交圆于A,B两点,使得三角形OAB的面积是√7/2,求直线l的方程

由点p（0,1）引圆x2+y2=4的割线l交圆于A,B两点,使得三角形OAB的面积是√7/2,求直线l的方程
设直线的斜率是k,
则直线的方程为y-1=k(x-0),即y=kx+1
带入到圆的方程中,得到(1+k²)x²+2kx-3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-2k/(1+k²),x1x2=-3/(1+k²),
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=2√(4k²+3)/(1+k²)
AB的长为L=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√(1+k²)*|x1-x2|=2√(4k²+3)/√(1+k²)
而圆点（0,0）到直线l的距离d=1/√(1+k²)
所以三角形OAB的面积为1/2*L*d=√7/2
即得关于k的方程,可以解出k=1或-1
于是直线l的方程为y=x+1或y=-x+1

设直线l的方程为y=kx+1 ①
将①代入圆的方程整理得(1+k2)x2+2kx-3=0 ②
设其二实数根为x1,x2，由根与系数的关系得 O
x1+x2= ,x1x2=
设点A(x1,y1),B(x2,y2)


即
解得k= ,故直线l的方程为y= x+1

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