计算积分I=∫(0,2a)dx∫[0,(2ax-x^2)^1/2](x^2+y^2)dy.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 14:01:03

计算积分I=∫(0,2a)dx∫[0,(2ax-x^2)^1/2](x^2+y^2)dy.
计算积分I=∫(0,2a)dx∫[0,(2ax-x^2)^1/2](x^2+y^2)dy.

计算积分I=∫(0,2a)dx∫[0,(2ax-x^2)^1/2](x^2+y^2)dy.
换到极坐标系,积分区域D:0≤ θ ≤ π/2,0≤ p ≤ 2a cosθ
I = ∫[0,π/2] dθ ∫ [0,2a cosθ] p^3 dp
= ∫[0,π/2] 4 a^4 (cosθ)^4 dθ
= 4 a^4 * (3π/16)
= 3π a^4 /4

换成极坐标系,I=∫(0,π/2)dθ∫(0,2acosθ) ρ^3dρ=∫(0,π/2) 4a^4(cosθ)^4dθ=4a^4×3/4×1/2×π/2=πa^4/4