证明锐角三角形三边的高在内部交于一点（垂心)希望可以说明的细一点

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 19:04:46

证明锐角三角形三边的高在内部交于一点（垂心)希望可以说明的细一点
证明锐角三角形三边的高在内部交于一点（垂心)
希望可以说明的细一点

证明锐角三角形三边的高在内部交于一点（垂心)希望可以说明的细一点
证明：
设三角形ABC,CF垂直于AB,BE垂直于AC,BE交AC
H,延长AH交BC于D,现证明AD垂直于BC
因为CF垂直于AB,
BC^2=CF^2+BF^2,AC^2=FC^2+AF^2
两者相减,
得BC^2-AC^2=BF^2-AF^2
同理,BH^2-HA^2=BF^2-AF^2
所以BC^2-AC^2= BH^2-HA^2（1）
与上述推理一样,BC^2-AB^2= CH^2-HA^2（2）
（1）-（2）,得AB^2-AC^2=BH^2-CH^2
此时,过A点作BC边的高AI,过H点作BC的垂线交其
于J
同开始的推理一样,AB^2-AC^2=BI^2-CI^2
BH^2-CH^2=BJ^2-CJ^2
所以BI^2-CI^2=BJ^2-CJ^2
即I、J点重合
所以AI,HJ是同一条直线
所以AH在BC边的高AI上,AD垂直于BC
所以三角形三边的高交于一点H

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