已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=f(x1)f(x2)+1 f(x2)-f(x1) ；②f（a）=-1（a＞0,a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时,f（x）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 01:35:27

已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=f(x1)f(x2)+1 f(x2)-f(x1) ；②f（a）=-1（a＞0,a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时,f（x）
已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：
①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=
f(x1)f(x2)+1
f(x2)-f(x1)
；
②f（a）=-1（a＞0,a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时,f（x）＜0．
（1）判断f（x1-x2）与f（x2-x1）之间的关系,并推断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0,2a）上的单调性,并证明；
（3）当函数f（x）的定义域为（-4a,0）∪（0,4a）时,
①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．

已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=f(x1)f(x2)+1 f(x2)-f(x1) ；②f（a）=-1（a＞0,a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时,f（x）
（1）不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)=
f(x2)f(x1)+1
f(x1)-f(x2)
=-
f(x1)f(x2)+1
f(x2)-f(x1)
=-f（x1-x2）=-f（x）,
∴f（x）是奇函数；
（2）在（0,2a）上任取两个实数x1、x2,
且x1＜x2,则有f(x1)-f(x2)=
f(x2)f(x1)+1
f(x2-x1)
,
∵0＜x＜2a时,f（x）＜0,
∴f（x2）＜0且f（x1）＜0,
故f（x2）f（x1）＞0,
即f（x2）f（x1）+1＞0；
∵0＜x1＜2a,0＜x2＜2a且x1＜x2,∴0＜x2-x1＜2a,
即有f（x2-x1）＜0；
∴f（x1）-f（x2）＜0,
即f（x1）＜f（x2）,
∴f（x）在（0,2a）上是增函数；
（3）①由题意可得：f(2a)=f[a-(-a)]=
f(a)f(-a)+1
f(-a)-f(a)
=
1-f 2(a )
-2f(a)
=
1-1
2
=0,
②∵f（2a-x）=
f(2a )f(x )+1
f(x )-f(2a)
=
1
f(x)
,f（2a+x）=
f(2a )f(-x )+1
f(-x )-f(2a)
=
1
f(-x)
=-
1
f(x)
∴f（2a-x）=-f（2a+x）
∴函数关于（2a,0）对称
由（2）知f（x）在（0,2a）上是增函数；
∴f（x）在（2a,4a）上也是增函数,
∴f（x）在（0,4a）上是增函数；在（-4a,0）上也是增函数
当x-4∈（0,4a）时,f（x-4）＜0⇔f（x-4）＜f（2a）⇔x-4＜2a,
∴0＜x-4＜2a,即4＜x＜2a+4
当x-4∈（-4a,0）时,f（x-4）＜0⇔f（x-4）＜f（-2a）⇔x-4＜-2a,
∴-4a＜x-4＜-2a,即4-4a＜x＜4-2a
所以不等式的解集是（4-4a,4-2a）∪（4,2a+4）．

给分太少了，亲！