作业帮(课136 15) 如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,这个数列有什么特点?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 05:58:50
(课136 15) 如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,这个数列有什么特点?
(课136 15) 如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,这个数列有什么特点?
(课136 15) 如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,这个数列有什么特点?
该数列一定是非零常数列,例如：{1、1、1、1}、{3、3、3、3、3、3、3}等等.
定义：
等差数列：如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列
等比数列：如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列
根据条件：1.由等差数列和等比数列的定义得知,这个数列中至少要有三个项；
2.且等比数列要求项与项的比值q相同,这就要求所求数列不得存在0,不然除以0无意义；
3.三个项以上的数列,只有常数列符合既是等差数列,又是等比数列的要求.
得出结论：所求数列为非零常数列.
MercyBB 的答案虽然是对的，但是只是说明常数数列符合这种情况，并没有证明符合这种情况的数列只有可能是常数数列（亦即只说明了充分性，没有证明必要性，而问题是在问必要性，也就是从某些性质推出常数数列，而不是相反的方向）。以下是对这个问题的严格证明：
如果数列a(n)既是等差数列又是等比数列，那么有：
a(n+1) = a(n) + d;
a(n+1) /a(n) = q ...
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MercyBB 的答案虽然是对的，但是只是说明常数数列符合这种情况，并没有证明符合这种情况的数列只有可能是常数数列（亦即只说明了充分性，没有证明必要性，而问题是在问必要性，也就是从某些性质推出常数数列，而不是相反的方向）。以下是对这个问题的严格证明：
如果数列a(n)既是等差数列又是等比数列，那么有：
a(n+1) = a(n) + d;
a(n+1) /a(n) = q
其中d和q分别为公差和公比。消去a(n+1)就得到：
a(n)*(q-1) = d。
当q不等于1时，得到a(n) = d/(q-1)，这显然是一个常数数列，但是此时我们又假设q不为1，矛盾，因此q必然等于1，此时d=0，a(n)为常数数列。由于a(n)也出现在分母中，因此a(n)必然是一个非零常数列。
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