作业帮关于线性代数的一个定理线性代数有个定理,说方阵A可逆充要条件是存在有限个初等矩阵P1...Pl,使得A=p1*P2*...*Pl.我的问题就是如果我随便给个可逆矩阵,那么如何将一组符合条件的P1到Pl给求出
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 08:50:56
关于线性代数的一个定理线性代数有个定理,说方阵A可逆充要条件是存在有限个初等矩阵P1...Pl,使得A=p1*P2*...*Pl.我的问题就是如果我随便给个可逆矩阵,那么如何将一组符合条件的P1到Pl给求出
关于线性代数的一个定理
线性代数有个定理,说方阵A可逆充要条件是存在有限个初等矩阵P1...Pl,使得A=p1*P2*...*Pl.
我的问题就是如果我随便给个可逆矩阵,那么如何将一组符合条件的P1到Pl给求出来?
关于线性代数的一个定理线性代数有个定理,说方阵A可逆充要条件是存在有限个初等矩阵P1...Pl,使得A=p1*P2*...*Pl.我的问题就是如果我随便给个可逆矩阵,那么如何将一组符合条件的P1到Pl给求出
首先,给出一个可逆阵A,那么A一定可以由初等行变换变成单位阵E.（这个很好理解,过程就像是解方程组的高斯消元一样）
其次分析上述过程,A每做一次初等行变换就相当于左乘一个初等矩阵.比如：A的第1,2行交换,就是A左乘一个
0 1 0 0 ...0
1 0 0 0 ...0
0 0 1 0 ...0
0 0 0 1 ...0
...
0 0 0 0 ...1
假设我们做了N次行变换把A变成E,就相当于：
P1*P2*...*PN*A=E
其中Pi就是相应的初等矩阵,我们既然知道每次行变换的过程,当然也知道每次相应的Pi是什么.
于是A=[P1^(-1)]*[P2^(-1)]*...*[PN^(-1)]
初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,这样就找出了你说的一组初等矩阵了,它们是：
[P1^(-1)],[P2^(-1)],...,[PN^(-1)]
A就是他们的乘积.
你将一个矩阵化成阶梯矩阵的过程，每一步都是三种初等变换之一，相当于右乘一个初等矩阵，如果是可逆矩阵，最终化成一个单位矩阵！
其实就是对A进行多次出等变换，就是相应的初等矩阵。