一道大一微积分题目求下列幂级数在收敛区间内的和函数 （如图）麻烦回答详细点,特别是求不定积分的时候.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:45:52

一道大一微积分题目求下列幂级数在收敛区间内的和函数 （如图）麻烦回答详细点,特别是求不定积分的时候.
一道大一微积分题目
求下列幂级数在收敛区间内的和函数 （如图）
麻烦回答详细点,特别是求不定积分的时候.

一道大一微积分题目求下列幂级数在收敛区间内的和函数 （如图）麻烦回答详细点,特别是求不定积分的时候.
收敛区间很容易,我就不做了,收敛区间为：[-1,1]
设s(x)=Σ(n=1→∞) x^(n+1)/[n(n+1)]
两边求导得：s'(x)=Σ(n=1→∞) x^n/n
再求导得：s''(x)=Σ(n=1→∞) x^(n-1)
=Σ(n=0→∞) x^n
=1/(1-x)
两边从0到x积分得：s'(x)-s'(0)=-ln(1-x) |[0→x]
由于s'(0)=0,则上式变为：s'(x)=-ln(1-x)
两边再从0到x积分：s(x)-s(0)=-∫[0→x] ln(1-x)dx
=∫[0→x] ln(1-x)d(1-x)
=(1-x)ln(1-x)+∫[0→x] 1dx
=(1-x)ln(1-x)+x |[0→x]
=(1-x)ln(1-x)+x
由s(0)=0,得：s(x)=(1-x)ln(1-x)+x

求两次导数再积分两次。

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