十二届华罗庚金杯数学邀请赛六年级决赛答案

十二届华罗庚金杯数学邀请赛六年级决赛答案
十二届华罗庚金杯数学邀请赛六年级决赛答案

十二届华罗庚金杯数学邀请赛六年级决赛答案
第十二届华杯赛决赛试题及解答
　　一、填空
　　1. “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”,将“华杯赛”的编码取为244041993088,如果这个编码从左起的奇数位的数码不变,偶数位的数码改变为关于9的补码,例如：0变9,1变8等,那么“华杯赛”新的编码是________.
　　2. 计算： ＝________.
　　3. 如图所示,两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米,点E在线段CD上,且CE＜DE,线段CF＝5厘米,则五边形ABCFG的面积等于________平方厘米.
　　4. 将 、 、 、 、 从小到大排列,第三个数是________.
　　5. 下图a是一个密封水瓶的切面图,上半部为圆锥状,下半部为圆柱状,底面直径都是10厘米,水瓶高度是26厘米,瓶中液面的高度为12厘米,将水瓶倒置后,如下图b,瓶中液面的高度是16厘米,则水瓶的容积等于________立方厘米.（π＝3.14,水瓶壁厚不计）
　　6. 一列数是按以下条件确定的：第一个是3,第二个是6,第三个是18,以后每一个数是前面所有数的和的2倍,则第六个数等于________,从这列数的第________个数开始,每个都大于2007.
　　7. 一个自然数,它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是________.
　　8. 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体,如下图b,则这个立体的表面积最多是________.
　　二、简答下列各题（要求写出简要过程）
　　9. 如图,在三角形ABC中,点D在BC上,且∠ABC＝∠ACB、∠ADC＝∠DAC,∠DAB＝21°,求∠ABC的度数；并回答：图中哪些三角形是锐角三角形.
　　10. 李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里,看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来,当货车车头经过窗口时,他开始计时,直到最后一节车厢驶过窗口时,所记的时间是18秒.已知货车车厢长15.8米,车厢间距1.2米,货车车头长10米,问货车行驶的速度是多少?
　　11. 下图是一个9×9的方格图,由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格,其中,有一些小方格填有1至9的数字.小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数,使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复,然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数,请写出这个9位数,并且简单说明理由.
　　12. 某班一次数学考试,所有成绩得优的同学的平均分是95分,没有得优的同学的平均分是80分,已知全班同学的平均成绩不少于90分,问得优的同学占全班同学的比例至少是多少?
　　三、详答下列各题（写出详细过程）
　　13. 如图,连接一个正六边形的各顶点,问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）?
　　14. 圆周上放置有7个空盒子,按顺时针方向依次编号为1,2,3,4,5,6,7.小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子,然后将第2枚白色棋子放入3号盒子,再将第3枚白色棋子放入6号盒子,……放置了第k－1枚白色棋子后,小明依顺时针方向数了k－1个盒子,并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中,小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子,随后,小青从1号盒子开始,按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子,请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子?每个盒子各有多少枚棋子?
　　一、填空
　　1.偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8,它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1,所以“华杯赛”新的编码是：254948903981
　　2.原式＝[20.75＋1.24× ]÷41.75＝[20.75＋0.125]÷41.75＝20.875÷41.75＝0.5
　　3.CF＝5,又CD和DF都是整数,根据勾股定理可知CE＝3,DF＝4,CD＝7,
　　所以五边形ABCFG的面积为： ＝16＋49＋6＝71（平方厘米）
　　4. ＝0.524, ＝0.525,所以： ,第三小的数是
　　5.如果将瓶中的液体取出一部分,使正立时高度为11厘米,则倒立时高度为15厘米,这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半,所以瓶的容积相当于一个高22厘米（底面积不变）的圆柱的体积,即瓶的容积是：
　　3.14× ×22＝1727（立方厘米）
　　6. 这列数的第一个是3,第二个是6,第三个是18,第四个是（3＋6＋18）×2＝54,第五个是（3＋6＋18＋54）×2＝162,第六个是（3＋6＋18＋54＋162）×2＝486
　　设这列数的第一个为a,则第二个为2a,第三个为6a＝2×3×a,第四个为18a＝2× ×a,第五个为54a＝第六个为162a＝2× ×a,第n个为2× ×a,因为a＝3,所以第n个数也可写作2× ,即从第三个数起,每个数是前一个数的3倍.2007÷486＞3,而2007÷3＜9,可知从第8个数起,每个数都大于2007.
　　7.因为111是奇数,而奇数＝奇数＋偶数,所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶.而一个数的最大约数是其自身,而一个数如有偶约数此数必为偶数,而一个偶数的次大约数应为这个偶数的 ,设这个次大约数为a,则最大约数为2a,a＋2a＝111,求得a＝37,2a＝74,即所求数为74.
　　8.根据所给视图,可画出这个立体的直观图如下：
　　可知,上下面积为8×2＝16（平方厘米）,前后面积为8×2＝16（平方厘米）,左右面积为8×2＝16（平方厘米）,此立体的表面积共48平方厘米.
　　二、简答下列各题
　　9.∵∠DAC＋∠ADC＋∠C＝,而∠DAC＝∠ADC＝∠B＋21,∠B＝∠C,
　　∴3×∠B＋21°＝180°, ∴∠B＝46°
　　∠DAC＝46°＋21°＝67°,∠BAC＝67°＋21°＝88°
　　∴△ABC和△ADC都是锐角三角形.
　　10.客车速度为60千米/小时,18秒钟通过的路程为： ＝300（米）
　　货车长为（15.8＋1.2）×30＋10＝520（米）
　　18秒钟货车通过的距离为520－300＝220（米）
　　货车速度为 ＝44（千米/小时）
　　11.
　　用（a,b）表示第a行第b列的方格,第4列已有数字1、2、3、4、5,第6行已有数字6、7、9,所以方格（6,4）＝8；第3行和第5行都有数字9,所以（7,4）＝9；正中的“小九宫”中已有数字7,所以只能是（3,4）＝7；此时,第4列中只余（5,4）,这一列只有数字6未填,所以（5,4）＝6.所以,第4列的数字从上向下写成的9位数是：327468951.
　　12.为使全班同学的平均分达到90分,需将2名得优的同学和1名没得优的同学匹配为一组,即得优的同学至少应为没得优同学的2倍,才能确保全班同学的平均分不低于90分,所以得优同学占全班同学的比例至少是 .
　　三、详答下列各题
　　13.
　　首先按是否是等边三角形分类,图a、图b、图c中有3类等边三角形,红色的有6个,蓝色的有6个,黄色的有2个,共14个等边三角形.图d中有3类非等边的等腰三角形,绿色的有6个,紫色的有6个,棕色的有12个,共24个.所以共有等腰三角形（包括等边三角形）为38个.
　　14.依顺时针方向不间断地给这7个盒子编号,则1号盒子可有的号数为1、8、15、…7k+1；2号盒子可有的号数为2、9、16、…7k+2；…；7号盒子可有的号数为7、14、21、…7k+7（k为整数）.
　　根据规则,小明将第1枚棋子放入1号盒子,将第2枚棋子放入3号盒子,将第3枚棋子放入6号盒子,将第4枚棋子放入10号即3号盒子,将第5枚棋子放入15号即1号盒子,将第6枚棋子放入21号即7号盒子,将第7枚棋子放入28号即7号盒子,按照这个规律,从第8枚棋子开始,将重复上述棋子放入的盒子,即第8枚放入1号盒子,第9枚放入3号盒子,…,也就是每7枚棋子为一个周期.并且这7枚棋子有2枚放入1号盒子,有2枚放入3号盒子,有2枚放入7号盒子,有1枚放入6号盒子,2、4、5号盒子未放入棋子.各盒子中的白子数目如下表.
　　200＝7×28＋4,经过28次循环后,第197枚棋子放入1号盒子,第198枚棋子放入3号盒子,第199枚棋子放入6号盒子,第200枚棋子放入3号盒子.
　　在小青逆时针放子时,我们依逆时针方向给盒子不间断编号,同样地每7枚棋子为一个周期, 300＝7×42＋6,可以求出各盒子中的红子数目如下表.
　　盒子编号 1 2 3 4 5 6 7
　　白子 57 0 58 0 0 29 56
　　红子 86 85 43 0 0 86 0
　　棋子总数 143 85 101 0 0 115 56

1, 254948903981
2, 原式＝[20.75＋1.24× ]÷41.75＝[20.75＋0.125]÷41.75＝20.875÷41.75＝0.5
3, 71平方厘米

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