f(x)=e^x+∫(x,0) t f(t) dt - x ∫(x,o) f(t) dt,求f(x)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 11:45:11

f(x)=e^x+∫(x,0) t f(t) dt - x ∫(x,o) f(t) dt,求f(x)
f(x)=e^x+∫(x,0) t f(t) dt - x ∫(x,o) f(t) dt,求f(x)

f(x)=e^x+∫(x,0) t f(t) dt - x ∫(x,o) f(t) dt,求f(x)
(x,0)?

公认的表示方法是左边写下限右边写上限吧
就当是(0,x)

希望你不是用手机提的问题.据说手机上看不到图片

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由于f(x)连续，则∫(0,x)tf(x-t)dt可导，
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt，因此f(x)可导
换元，令x-t=u，则dt=-du，u：x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
两边求导得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可导得：f '(x)可导
(1)两边再求导得：f ''(x)=e^x+f(x) 二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得：f(0)=1
将x=0代入(1)得：f '(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程为：r²-1=0，解得r=±1
因此齐次方程通解为：C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为：y*=axe^x
代入微分方程解得：a=1/2
因此微分方程通解为：f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1，f '(0)=1代入得：f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x
这样可以么？

收起

∫[0,x]f(x-t)tdt=e^x-x-1,求f(x) 设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x) 设dy/dx∫(0,e^-x)f(t)dt=e^x,f(x)=? ∫(0,x)f(t-x)dt=e^(-x²)+1 求f(x)急. f(x)=e^x+∫(x,0) t f(t) dt - x ∫(x,o) f(t) dt,求f(x) 设二阶可维函数f(x)满足方程[0,x]∫(x+1-t)f'(t)dt=e^x+x^2-f(x),求f(x) f(x)=x^2+∫[0~x]e^（x-t)f '(t)dt 怎么变到 f '(x)=2x+f '(x)+∫[0~x]e^（x-t)f '(t)dt 设f(x)为连续函数,且符合关系f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt,求函数f(x) 设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)RT 设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫x上0下（t-x）f（t）dt 求f（x） F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数 F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数 f(x)=x+∫0到1(x+t)f(t)dt 求f(x) 已知连续函数 f(x)满足f(x)=∫[3x,0] f( t/3)dt+e^2x,求f(x) 设函数f(x)可导,且满足f(x)-∫(上限为x,下限为0)f(t)dt=e^x,求f(x) 需要详解, d∫(e^-x～0) f(t)dt/dx=e^x,则f(x)=?d∫(e^-x～0) f(t)dt/dx=e^x,则f(x)= f(x)=x+2*x*∫(0到x) f(t)dt 求f(x) 函数f(x)=e^x-e^-x,当实数t取何值时,f(x-t)+f(x^2-t^2)≥0满足一切x