函数f(x)=x-a√x在x∈[1,4]上单调递减,则实数a的最小值为多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 05:29:50

函数f(x)=x-a√x在x∈[1,4]上单调递减,则实数a的最小值为多少?
函数f(x)=x-a√x在x∈[1,4]上单调递减,则实数a的最小值为多少?

函数f(x)=x-a√x在x∈[1,4]上单调递减,则实数a的最小值为多少?
f(x)=x-a√x在x∈[1,4]上单调递减
则:(x-a√x) < 0
a>√x
x∈[1,4]
则:x>2

设t=根号X,则有 1<=t<=2
f(t)=t^2-at=(t-a/2)^2-a^2/4
在[1,2]上单调减,则有a/2>=2
a>=4
即最小值是:4

求得函数的导数f'(x)=1-a/2根号x
∵函数f(x)=x-a根号x在x∈[1,4]上单调递减,
∴f'(x)≤0即1-a/2根号x≤0,对任意的x∈[1,4]成立
∴a≥2根号x
对任意的x∈[1,4]成立,得a≥4
因此a的最小值是4