作业帮在墙上开一个上半部为半圆形下半部为矩形的窗户,在窗框为定长L的条件下,要使窗户能透进更过光线（也就是面积最大）时,矩形的高为?最好附图把.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 17:00:19
在墙上开一个上半部为半圆形下半部为矩形的窗户,在窗框为定长L的条件下,要使窗户能透进更过光线（也就是面积最大）时,矩形的高为?最好附图把.
在墙上开一个上半部为半圆形下半部为矩形的窗户,在窗框为定长L的条件下,要使窗户能透进更过光线（也就是面积最大）时,矩形的高为?
最好附图把.
在墙上开一个上半部为半圆形下半部为矩形的窗户,在窗框为定长L的条件下,要使窗户能透进更过光线（也就是面积最大）时,矩形的高为?最好附图把.
一会上传图
设窗户半圆部分的半径为R,矩形部分高为h,则窗框为
πR+2h+2R=L
整理上式,R=(L-2h)/(π+2)
窗户面积为S=πR^2/2+2hR=π(L-2h)^2/[(π+2)^2*2]+2(L-2h)h/(π+2)
显然,S(h)是一个开口向下的抛物线.
对函数S求导,得S‘=[π/[(π+2)^2*2]]*(0-4L+8h)+[2/(π+2)]*(L-4h)
=4L/(π+2)^2-(4π+16)h/(π+2)^2
S‘=0时S取得极值,有
4L/(π+2)^2-(4π+16)h/(π+2)^2=0
h=L/(π+4)
即,当矩形高为L/(π+4)时,窗户面积最大.
先求S最大时的R值也可以,方法一样.
如果是简单的二次函数,可以-b/2a获得极值时的横坐标,如果是复杂的多次函数,则需要求导.
窗框就是指半圆的弧和下面矩形的两段高以及一段矩形的宽
设半圆的半径为R，则矩形的高为h=(L-πR-2R)/2
因此总面积为s=πR^2/2+2Rh=-(π/2+2)R^2+RL
所以当R=1/(π+4)时，s最大
带入h=(L-πR-2R)/2即可得答案
设矩形边长为X 则半圆的半径为L-X 设总面积为Y
可以得到 Y=X²+π（L-X）²/2
求Y的最大值 高中生应该没问题吧
好像要用均值定理
设：矩形的宽和高分别为2a,h，总面积为s
则L = (2a+h)*2+πa=(4+π)a+2h
∴h = [L-(4+π)a]/2
s = 2ah+πa²/2 = a[L-(4+π)a]+πa²/2 = -(4+π/2)a²+aL
∴当且仅当a=L/(8+π)时，二次函数s=-(4+π/2)a²+aL有最大值
∴h = [L-(4+π)a]/2 = [L-(4+π)L/(8+π)]/2 = 2L/(8+π)
窗框L应为半圆+三边
L/(2+π)
设窗户面积s,下部矩形宽为a,上部半圆半径r，依题有： L=πr+2a+2r,s=πr^2/2+a*2r.去掉变量a可得 s=πr^2/2+(L-2r-πr)r=-(3π+7)r^2/2+Lr=-(3π+7)/2*(r-L/(3π+7))^2+L^2/2(3π+7)<=L^2/2(3π+7),当且仅当r=L/(3π+7),s去最大值。