作业帮如果一个n位的非零实数a1,a2,...an的各个数位上的数字a1,a2,...an适当调整次序后能组成一个等比数列则称这个非零整数a1,a2,...an为n位“等比数”,如124,913,333,是等比数.那么三位“等比数”共有（
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:06:56
如果一个n位的非零实数a1,a2,...an的各个数位上的数字a1,a2,...an适当调整次序后能组成一个等比数列则称这个非零整数a1,a2,...an为n位“等比数”,如124,913,333,是等比数.那么三位“等比数”共有（
如果一个n位的非零实数a1,a2,...an的各个数位上的数字a1,a2,...an适当调整次序后能组成一个等比数列
则称这个非零整数a1,a2,...an为n位“等比数”,如124,913,333,是等比数.那么三位“等比数”共有（）个（用数字作答）
如果一个n位的非零实数a1,a2,...an的各个数位上的数字a1,a2,...an适当调整次序后能组成一个等比数列则称这个非零整数a1,a2,...an为n位“等比数”,如124,913,333,是等比数.那么三位“等比数”共有（
a,b,c分别为三位数的个位、十位、百位上的数,a,b,c成等比数列,则有b²=ac,c=b²/a.
不失一般性,设1≤a≤b≤c.（此题正好也不管顺序）
设b/a=q/p,p、q互质,p、q∈N*,则q≥p,
c=aq²/p²,因为c为整数,p、q互质,所以p²能整除a,于是q²能整除c,
又1≤a≤9,1≤c≤9,所以1≤p²≤9,1≤q²≤9,故1≤p≤3,1≤q≤3.
当p=1时,q/p=q为整数,1≤q≤3,
当p=2时,p、q互质,q只能是奇数且大于等于2,q=3,q/p=3/2,
当p=3时,q只能为3,p、q不互质,矛盾.
所以公比b/a只能为1,2,3和3/2,
当公比为1时,a=b=c,a=1,2,3,4,5,6,7,8,9共九种,有9个三位数,
当公比为2时,c=4a,1≤c≤9,所以a=1或2,
a=1时,b=2,c=4；a=2时,b=4,c=8,共两种,有2*3!=12个三位数,
当公比为3时,c=9a,1≤c≤9,所以a=1,b=3,c=9,只有一种,有3!=6个三位数,
当公比为3/2时,c=9/4a为整数,a必须为4的倍数,又1≤c≤9,于是a≤4
所以a=4,b=6,c=9,只有一种,有3!=6个三位数,
综上,共有9+12+6+6=33个三位数.
公比为1的有111,222,333,444,555...............,999 共9个
公比为2的有124,（排列组合有6个）248（同上）共12个
公比为3的有139共6个
总计27个