三角形ABC,AD是BC边上的中线.E在AB边上,ED平分角ADB,F在AC边上,FD平分角ADC.求证：BE+CF大于EF不让插图，是随意三角形，我证不出来

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 23:09:20

三角形ABC,AD是BC边上的中线.E在AB边上,ED平分角ADB,F在AC边上,FD平分角ADC.求证：BE+CF大于EF不让插图，是随意三角形，我证不出来
三角形ABC,AD是BC边上的中线.E在AB边上,ED平分角ADB,F在AC边上,FD平分角ADC.求证：BE+CF大于EF
不让插图，是随意三角形，我证不出来

三角形ABC,AD是BC边上的中线.E在AB边上,ED平分角ADB,F在AC边上,FD平分角ADC.求证：BE+CF大于EF不让插图，是随意三角形，我证不出来
证明：如图：延长FD 至 K, 使 DK=FD  连 BK、EK
          因为, AD是BC边上的中线, 即：BD=DC
         又因为,∠BDK=∠CDF (对顶角相等)
         所以,△BDK全等于△CDF
            所以,CF=BK
       又因为,ED平分角ADB
        所以,∠1=(1/2)∠ADB
                   FD平分角ADC.
        所以,∠2=(1/2)∠ADC
       因为,∠ADB+∠ADC=180°
       所以,∠1+∠2=(1/2)*(∠ADB+∠ADC)=(1/2)*180°=90°,  即： ED⊥KF
        又因为, DK=FD  (已作)
      所以,ED是线段KF的垂直平分线
    所以,EK=EF
     在三角形EBK中, BE+BK>EK
      所以,BE+CF>EF

证法1：如上图，在DA上截取DM=DB,连接ME、MF，则DM=DB.

在△DEB和△DEM中

∴ △DEB≌△DEM(SAS)

∴ BE=ME(全等三角形对应边相等（……隐藏……）之和大于第三边来予以证明.若在DA(或DA延长线上)截取DM=DB=DC，则△DEB≌△DEM，△DFC≌△DFM,从而EM=BE,FM=CF,现就可以通过三角形三边关系将证明完成.

你给个图呗