有下列不等式 1>0.5,1+1/2+1/3>1,1+1/2+1/3+.+1/7>3/2,1+1/2+1/3+...+1/15>2,得到一个一般不等式,并证明

有下列不等式 1>0.5,1+1/2+1/3>1,1+1/2+1/3+.+1/7>3/2,1+1/2+1/3+...+1/15>2,得到一个一般不等式,并证明
有下列不等式 1>0.5,1+1/2+1/3>1,1+1/2+1/3+.+1/7>3/2,1+1/2+1/3+...+1/15>2,得到一个一般不等式,并证明

有下列不等式 1>0.5,1+1/2+1/3>1,1+1/2+1/3+.+1/7>3/2,1+1/2+1/3+...+1/15>2,得到一个一般不等式,并证明
楼上的有点错：
n=k+1时,左边是“1/1+1/2+...1/(2^k-1)+1/[2^(k+1)-1]”吗?明显不是,最后两项中间还有好多项呢!它们分母都只差1,最后两项分母差了多少?
1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/(2^n - 1) ＞ n/2 n∈N+
第一步,n=1时,1 > 1/2 成立
第二步,
若n=k时,1+1/2+1/3+…+1/(2^k-1) > k/2成立
则n=k+1时,
1+1/2+1/3+…+1/[2^(k+1)-1]
=1+1/2+1/3+…+1/(2^k-1) + {1/2^k +1/(2^k+1) +1/(2^k+2) + … + 1/[2^(k+1)-1]}
注意到{1/2^k +1/(2^k+1) + … + 1/[2^(k+1)-1]}共有2^k项
因为2^k < 2^k+1 < 2^k+2 < … < 2^(k+1)-1 < 2^(k+1)
所以：1/2^k > 1/(2^k+1) > 1/(2^k+2) > … > 1/[2^(k+1)-1] > 1/2^(k+1)
所以：{1/2^k +1/(2^k+1) + 1/(2^k+2) + … + 1/[2^(k+1)-1]} > (2^k)×[1/2^(k+1)]=1/2
所以：1+1/2+1/3+…+1/[2^(k+1)-1] > k/2+1/2=(k+1)/2 成立
最后得出结论：1+1/2+1/3+…+1/(2^n-1) > n/2 成立
(∵n=k时成立,得到n=k+1时成立,∴n=1时成立,得到n=2时成立,以此类推……)

1/1+1/2+...1/(2^n-1)>n/2
1）显然n=1时，有1>0.5
2）假设当n=k,时有1/1+1/2+...1/(2^k-1)>k/2 成立
则当n=k+1时有
1/1+1/2+...1/(2^k-1)+1/[2^(k+1)-1]>k/2+1/[2^(k+1)-1]
要使n=k+1也成立，只需证明
k/2+1/[2^(k+1)...

全部展开

1/1+1/2+...1/(2^n-1)>n/2
1）显然n=1时，有1>0.5
2）假设当n=k,时有1/1+1/2+...1/(2^k-1)>k/2 成立
则当n=k+1时有
1/1+1/2+...1/(2^k-1)+1/[2^(k+1)-1]>k/2+1/[2^(k+1)-1]
要使n=k+1也成立，只需证明
k/2+1/[2^(k+1)-1]>(k+1)/2
即证明1/[2^(k+1)-1]>1/2
即证明[2^(k+1)-1]<2
即证2^(k+1)<3
显然成立

收起

1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/(2^n-1) ＞ n/2 n∈N+
第一步，n=1时，1 > 1/2 成立
第二步，
若n=k时，1+1/2+1/3+…+1/(2^k-1) > k/2成立
则n=k+1时，
1+1/2+1/3+…+1/[2^(k+1)-1]
=1+1/2+1/3+…+1/(2^k-1) + {1/2^k +1/...

全部展开

1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/(2^n-1) ＞ n/2 n∈N+
第一步，n=1时，1 > 1/2 成立
第二步，
若n=k时，1+1/2+1/3+…+1/(2^k-1) > k/2成立
则n=k+1时，
1+1/2+1/3+…+1/[2^(k+1)-1]
=1+1/2+1/3+…+1/(2^k-1) + {1/2^k +1/(2^k+1) +1/(2^k+2) + … + 1/[2^(k+1)-1]}
=k/2 + {1/2^k +1/(2^k+1) +1/(2^k+2) + … + 1/[2^(k+1)-1]}
| 共[2^(k+1)-1]-(2^k-1)=2^k项 |
>k/2+1/[2^(k+1)-1]*2^k
>k/2+1/2
=(k+1)/2 即n=k+1时不等式成立
综上，由数学归纳法得出不等式成立

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