近代数学的兴起要：代数学的发展、解析几何的诞生

近代数学的兴起要：代数学的发展、解析几何的诞生
近代数学的兴起
要：代数学的发展、解析几何的诞生

近代数学的兴起要：代数学的发展、解析几何的诞生
近代数学的兴起
第一节 中世纪的欧洲
在巴比伦、埃及、中国、印度、希腊和罗马等文明兴盛时代,欧洲（除希腊和意大利）还处于原始文明时期,大约在公元500年左右才开始出现新文化.公元5~11世纪,是欧洲历史上的黑暗时期,天主教会成为欧洲社会的绝对势力,封建宗教统治,使一般人笃信天国,追求来世,从而淡漠世俗生活,对自然不感兴趣.教会宣扬天启真理,并拥有解释这种真理的绝对权威,导致了理性的压抑,欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态.
由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学,这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响,终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就.不过因宗教教育的需要,也出现一些水平低下的算术和几何教材.罗马人博埃齐（A.M.S.Boethius,约480~524）根据希腊材料用拉丁文选编了《几何》、《算术》等教科书,《几何》内容仅包含《几何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题,以及一些简单的测量术；《算术》则是根据四百年前尼科马库斯（Nicomachus）的一本浅易的著作编写的.这样简单的书籍竟一直成为欧洲教会学校的标准课本.此外,这一时期还有英国的比德（V.Bede,674~735）和后来成为教皇的法国人热尔拜尔（Gerbert,约950~1003,第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒）等人也讨论过数学,前者研究过算术中的指算,据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲.
直到12世纪,欧洲数学才出现复苏的迹象.这种复苏开始由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激.1100年左右,欧洲人通过贸易和旅游,同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触.十字军为掠夺土地的东征,使欧洲人进入了阿拉伯世界,从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里学到希腊以及东方古典学术,激发他们对这些学术著作的搜求、发掘和研究,最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨.文艺复兴前哨的意大利,由于其特殊的地理位置容易与外部文明相联系,西西里岛成为东西方文化的熔炉.古代学术传播西欧的路线如下图所示.
数学著作的翻译主要有英国的阿德拉特(Adelard,约1120)翻译的《几何原本》和花拉字米的天文表；意大利人普拉托（Plato,12世纪上半叶）翻译的巴塔尼的《天文学》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其它著作.12世纪最伟大的翻译家格拉多（Gherardo,1114~1187）将90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文,其中包括托勒玫的《大汇编》、《几何原本》、花拉子米的《代数学》.因此可以说12世纪是欧洲数学的翻译时代.
欧洲黑暗时代以后,第一位有影响的数学家是斐波那契(Fibonacci, 1170~1250),他早年就随其父亲在北非从师阿拉伯人学习算学,后又游历地中海沿岸诸国,回意大利写成《算盘书》(Abaci, 1202),这部著名的著作主要是古代中国、印度和希腊数学著作的内容,包括印度-阿拉伯数码,分数算法,开方法,二次和三次方程,不定方程,以及《几何原本》和希腊三角学的大部分内容（如中国数学的“孙子问题”,“百鸡问题”均出现于该书中）.特别是,书中系统介绍了印度数码,影响了欧洲数学面貌.《算盘书》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角.
欧洲数学复苏的过程十分曲折,从12世纪到15世纪中叶,教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步.特别是他们把亚里士多德、托勒玫的一些学术奉为绝对正确的教条,妄图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想.欧洲数学真正的复苏,要到15、16世纪.在文艺复兴的高潮中,数学的发展与科学的革新紧密结合在一起,数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调.达芬奇(1452~1519)就这样说过：“一个人若怀疑数学的极端可靠性就是陷入混乱,他永远不能平息诡辩科学中只会导致不断空谈的争辩.……因为人们的探讨不能称为科学的,除非通过数学上的说明和论证.”伽利略干脆认为宇宙“这本书是用数学的语言写成的”.科学中数学化趋势的增长促使数学本身走向繁荣.以下简略介绍这一时期数学发展的重要方面.
　
第二节 向近代数学的过渡
2.1 代数学
欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的,它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域,拉开了近代数学的序幕.主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入这两个方面.
翻译家格拉多（gherardo, 1114~1187）将花拉子米的《代数学》翻译成拉丁文后,开始在欧洲传播,不过,直到十五世纪, 人们还以为三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决.第一个突破是波伦亚大学的数学教授费罗（Scipionedel Ferro, 1465~1526）大约于1515年左右作出的,他发现了形如(m , n > 0)的三次方程的代数解法.当时流行着学者们不公开自己研究成果的风气,费罗将自己的解法秘密传给他的学生费奥(Antonio Maria Fior）.与此同时,1535年意大利另一位数学家塔塔利亚（Niccolo Fontana, 1499?~1557,绰号Tartaglia）也宣称自己可以解形如 (m , n > 0)的三次方程.于是,费奥开始向塔塔利亚挑战,要求各自解出对方提出的十三个三次方程,比赛结果,塔塔利亚很快解出形如和(m , n > 0)的两类型所有三次方程,而费奥仅能解出前一类型的方程.塔塔利亚同样没有公布他的解法,在教书行医于米兰的学者卡尔丹（G.Cardano,1501~1576）的再三请求、并答应保密的情况下,塔塔利亚将其解法传授与他.不久,卡尔丹违背诺言而著《大法》（Ars magna, 1545）一书,公布了这些解法.《大法》所载三次方程 x3+px= q 的解法,实质是考虑恒等式 (a-b)3 + 3ab(a-b) = a3-b3
若选取a和b,使 3ab= p,a3-b3 = q, （*）
由（*）不难解出a和b,
a = b=
于是得到a-b就是所求的x. 后人称之为卡尔丹公式.
三次方程解决后不久,1540年意大利数学家达科伊（T.Da Coi）向卡尔丹提出一个四次方程的问题,卡尔丹为能解决,由其学生费拉里（Lodovico Ferrari,1522~1565）解决了,其解法也被卡尔丹写进《大术》中.其解法是利用一个变换：,将一般四次方程简化为,由此进一步
　
于是,对于任意的z,有
　
再选择适当的z,使上式右边成为完全平方式,实际上使
即可.这样就变为z的三次方程.
费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种：
当然,说卡尔丹完全是剽窃失之于公正,因为他在书中已注明这个解法是塔氏告诉他的,而且塔氏也没有给出证明.卡尔丹不仅将塔氏方法推广到一般情形的三次方程,并且补充了几何证明.书中对三次方程求解中的所谓“不可约”情形感到困惑（不可约情形就是判别式）,实质上它涉及到实数的复数表示问题.在卡氏去世后四年的1572年,意大利数学家邦贝利（R.Bombelli, 约1526~1573）在其所著教科书《代数》中引进了虚数,用以解决三次方程不可约情况,并以dimrq11表示?-11.卡尔丹认为复根是成对出现的（这一推测后来被牛顿（Newton,1642~1727）在其《普遍的算术》中所证明）,认识到三次方程有三个根,四次方程有四个根.在此基础上,荷兰人吉拉德（Albert Girard,1593~1632）于《代数新发现》（1629）中又作进一步的推断：对于n次多项式方程,如果把不可能的（复数根）考虑在内,并包括重根,则应有 n个根.不过,没有给出证明.卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于x2项的系数的相反数,每两根乘积之和等于x项的系数,等等,这种根与系数的关系问题后来由韦达(f.vieta,1540~1603)、牛顿和格列高里 (James Gregory,1638~1675) 等人作出系统阐述.
在法国,数学家韦达也写过《分析方法入门》（1591）、《论方程的整理与修正》（1615）与《有效的数值解法》（1600）等几本方程论著作,韦达给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法.1637年,笛卡儿（Descartes,1596~1650）首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求解.今天所说的因式分解定理,最早由笛卡儿在其《几何学》中提出,他说：f (x) 能为 (x-a) 整除,当且仅当a 是f (x) = 0的一个根.他还证明了：若有理系数的三次方程有一个有理根,则此多项式可表示为有理系数因子的乘积,并且引用了待定系数法原理.笛卡儿在《几何学》中也未加证明叙述了,n次多项式方程应有 n个根的论断,以及今天所谓的“笛卡儿符号法则”：多项式方程f (x) = 0 的正根的最多个数等于系数变号的次数,负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数.综览笛卡儿的工作,容易发现他已初步建立了多项式方程有理根的现代方法.
文艺复兴时期欧洲方程论与代数学研究是数学史上精彩的一页,意大利人在三、四次方程解法方面的工作是整个17、18世纪数学关于高次代数方程理论的一系列漫长而影响深远的探索的起始点.
代数上的进步还在于引用了较好的符号体系,这对于代数学本身的发展以及分析学的发展来说,至为重要.正是由于符号化体系的建立,才使代数有可能成为一门科学.近现代数学一个最为明显、突出的标志,就是普遍地使用了数学符号,它体现了数学学科的高度抽象与简练.文艺复兴时期代数学的另一重大进展,便是系统地引入符号代数.
尽管埃及、希腊与印度人都曾零星地使用过缩写文字和符号,中国宋元时期的数学家也引入天元、地元、人元、物元等来表示未知数,但他们都无意识到这样做的重要意义.只有丢番图(Diophantus)自觉地运用符号以使代数的思路与书写更加紧凑有效.或许由于印刷术传入欧洲带来的结果,十五世纪及十六世纪初的欧洲数学著作的书写形式尽管主要是文章式的,但流行着使用一些特殊词语的缩写与特定的数学符号,在意大利修道士帕奇欧里(L.Pacioli,约1445~1509)的《算术、几何及比例性质之摘要》（1494）、德国人斯蒂费尔（Stifel,1486?~1567）的《综合算术》（1544）,以及鲁道夫（C.Rudolff, 约1500~约1545）的《求根术》等书中尤为显著.
数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达,由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生最重大变革.韦达原是律师与政治家,业余时间研究数学.他曾在布列塔尼（Brittany）议会工作,后任那瓦尔的亨瑞（Henry）亲王的枢密顾问官,他在政治上失意的1584~1589年间,献身于数学研究,曾研究过卡尔丹、塔塔利亚、邦贝利、史蒂文（Stevin, 1548~1620）和丢番图等人的著作,从这些著作特别是丢番图的著作中获得了使用字母的想法,在他的《分析引论》（1591）中,第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,辅音字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符号性代数称作“类的算术”.同时规定了算术与代数的分界,认为代数（logistica speciosa）运算施行于事物的类或形式,算术运算（logistica numerosa）施行于具体的数.这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛.
韦达的这种做法受到后人的赞赏,并被吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德（Oughtred,1575~1660）的《实用分析术》所继承,灵活地加以运用,特别是通过后者的著作使采用数学符号的风气流行起来.对韦达所使用的代数法的改进工作是由笛卡儿完成的,他首先用拉丁字母的前几个（a, b, c, d, …）表示已知量,后几个（x, y, z, w, …）表示未知量,成为今天的习惯,他改变了韦达的做法,毫无区别地采用文字系数.韦达的符号代数保留着齐性原则,要求方程中各项都是“齐性”的,即体积与体积相加,面积与面积相加.这一障碍随着笛卡儿解析几何的诞生也得到消除.
到十七世纪末,欧洲数学家已普遍认识到,数学中特意使用符号具有很好的功效.并且使数学问题具有一般性.不过当时随意引入的符号太多,我们今天所使用的符号,实际是这些符号经过长期淘汰后剩下来的.

1919年五四运动之后，数学才真正兴起