作业帮已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示（1）证明：对于任意向量a、向量b及常数m、n,恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；（2）设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标；（3）求使得f
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 00:41:43
已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示（1）证明：对于任意向量a、向量b及常数m、n,恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；（2）设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标；（3）求使得f
已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示
（1）证明：对于任意向量a、向量b及常数m、n,恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；
（2）设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标；
（3）求使得f(c)=(3,5)的向量c坐标.
（注：a、b、c都为向量）
已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示（1）证明：对于任意向量a、向量b及常数m、n,恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；（2）设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标；（3）求使得f
(1) 设向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2) 则ma+nb=(mx1+nx2,my1+ny2)
又因为f(u)=v 此时的向量u=ma+nb=(mx1+nx2,my1+ny2) 所以v=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2)
f(a)=(y1,2y1-x1) 所以mf(a)=(my1,2my1-mx1)
f(b)=(y2,2y2-x2) 所以nf(b)=(ny2,2ny2-nx2)
mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1-mx1+2ny2-nx2)=f(ma+nb)
所以f（ma+nb）=mf（a）+nf（b)
(2) 套公式 向量u=a =(1,1) 所以v=(1,2*1-1)=(1,1)
f(b)=(0,2*0-1)=(0,-1)
(3)设c=(x,y) 得方程组｛y=3
｛2y-x=5 x=1 y=3
所以c=(1,3)
分析：（I）由已知中向量u=(x，y)与v=(y，2y-x)的对应关系用v=f(
u)表示，我们根据a=(1，1)，
b=(1，0)，易得向量f(
a)及f(
b)的坐标；
（II）设c=（x，y），根据f(
c)=(p，q)，我们可以构造关于x，y的方程，解方程即可求出向量c的坐标；
（Ⅲ）设a=(a1，a2)，
b=(b1，b2)...
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分析：（I）由已知中向量u=(x，y)与v=(y，2y-x)的对应关系用v=f(
u)表示，我们根据a=(1，1)，
b=(1，0)，易得向量f(
a)及f(
b)的坐标；
（II）设c=（x，y），根据f(
c)=(p，q)，我们可以构造关于x，y的方程，解方程即可求出向量c的坐标；
（Ⅲ）设a=(a1，a2)，
b=(b1，b2)，分别求出f(m
a+n
b)和mf(
a)+nf(
b)的坐标，比照后即可得到结论．
（I）由已知得f(a)=（1，1），f(b)=（0，-1）
（II）设c=（x，y），则f(c)=(y，2y-x)=(p，q)，
∴y=p，x=2p-q，即c=（2P-q，p）．
（III）设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则ma+nb=(ma1+nb1，ma2+nb2)，
故 f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)=m（a2，2a2-a1）+n（b2，2b2-b1），
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)
点评：本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，其中正确理解新定义向量u=(x，y)与v=(y，2y-x)的对应关系用v=f(u)表示是解答本题的关键．
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