作业帮谁能证明一下f(x)=e^x的导函数亦为f(x)=e^x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 01:03:54
谁能证明一下f(x)=e^x的导函数亦为f(x)=e^x
谁能证明一下f(x)=e^x的导函数亦为f(x)=e^x
谁能证明一下f(x)=e^x的导函数亦为f(x)=e^x
e^x/dx = lim (dx->0) [e^(x+dx)-e^x]/dx
=lim (dx->0) (e^dx-1)*(e^x)/dx
=(e^x)*lim (dx->0) (e^dx-1)/dx
而且e^x=1+x+x^2/2!+ x^3/3!+ x^4/4!+ ...
lim (dx->0) (e^dx-1)/dx
=lim (dx->0) (1+dx+dx^2/2!+ dx^3/3!+ dx^4/4!+ ...-1)/dx
=lim (dx->0) dx/dx
=1
所以e^x/dx=e^x
dy=e^(x+dx)-e^x=(e^dx-1)e^x
令u=e^dx-1,显然，当dx->0时，u->0
且dx=ln(1+u)
所以 lim(dy/dx)= e^x lim (e^dx-1)/dx= e^x lim u/ln(1+u)
dx->0 dx->0 u->0
=e^x lim...
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dy=e^(x+dx)-e^x=(e^dx-1)e^x
令u=e^dx-1,显然，当dx->0时，u->0
且dx=ln(1+u)
所以 lim(dy/dx)= e^x lim (e^dx-1)/dx= e^x lim u/ln(1+u)
dx->0 dx->0 u->0
=e^x lim 1/{ln(1+u)^(1/u)}
u->0
因为 lim(1+u)^(1/u)=e (这是一个结论，也可以说是e的由来，高等数
u->0 学的内容,推到过程比较复杂)
所以e^x lim 1/{ln(1+u)^(1/u)}=e^x lim 1/lne=e^x
u->0
证明完毕。
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