已知钝角三角形ABC的外接圆(角C为钝角),做弦AC的垂线,与圆交于MN两点,过M做AB的垂线交于点D,且AD=BD+BC,求证MN是圆的直径

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/26 18:08:43

已知钝角三角形ABC的外接圆(角C为钝角),做弦AC的垂线,与圆交于MN两点,过M做AB的垂线交于点D,且AD=BD+BC,求证MN是圆的直径
已知钝角三角形ABC的外接圆(角C为钝角),做弦AC的垂线,与圆交于MN两点,过M做AB的垂线交于点D,
且AD=BD+BC,求证MN是圆的直径

已知钝角三角形ABC的外接圆(角C为钝角),做弦AC的垂线,与圆交于MN两点,过M做AB的垂线交于点D,且AD=BD+BC,求证MN是圆的直径
证明:
在AB上取点F,使AF=BC,连接CM、AM、FM、BM
因为AD=BD+BC
所以DF=BD
因为MD⊥AB
所以MB=MF
所以∠MNF=∠MFB<90度
所以∠AFM>90度
因为MN⊥AC
所以∠MAE<90度,即∠CAM<90度
因为∠CBM+∠CAM=180度,
所以∠CBM>90度
所以△AMF和△CBM是钝角三角形
因为∠MAF=∠MCB
所以△AMF≌△CMB(钝角三角形,SSA)
所以AM=CM
所以AE=CE(三线合一)
所以MN垂直平分AC
所以MN一定过△ABC外接圆的圆心
所以MN是圆的直径
江苏吴云超解答 供参考!

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