作业帮卓里奇 第四章 连续 证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:46:32
卓里奇 第四章 连续 证明题
卓里奇 第四章 连续 证明题
卓里奇 第四章 连续 证明题
题目最好加上条件：f(x)和g(x)的值域包含于[0,1],否则f[g(x)]对g(x)不属于[0.1]的x没有定义.用反证法,假设不存在x属于[0,1],使得f(x)=g(x),也就是不存在x使得h(x)=f(x)-g(x)等于0,由于h(x)是连续的,故h(x)在[0,1]上保号（即恒正或恒负,因为如果h(x)变号,则根据零点定理,知存在x0使得h(x0)=0,与假设矛盾）.不妨假设h(x)>0,由h(x)的连续性知,存在ε>0,使得h(x)=f(x)-g(x)>ε,即f(x)>g(x)+ε.现在把f(x)看做自变量,复合后有f[f(x)]>g[f(x)]+ε=f[g(x)]+ε,而把g(x)看做自变量时又有f[g(x)]>g[g(x)]+ε,所以f[f(x)]>g[g(x)]+2ε,根据归纳法可知复合n次后有,f(n)(x)>g(n)(x)+nε（(n)表示复合了n次）.由于n是任意的,所以对于给定的ε>0,总能找到足够大的n,使得nε>1,但这与已知矛盾,因为f和g复合n次后的值域仍包含于[0,1],f(x)和g(x)的差是不可能大于1的,这矛盾说明假设不成立.