证明不等式:a^2+b^2+1≥ab+a+b

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 00:18:39

证明不等式:a^2+b^2+1≥ab+a+b
证明不等式:a^2+b^2+1≥ab+a+b

证明不等式:a^2+b^2+1≥ab+a+b
用求差比较法:为方便起见先扩大2倍
2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b
=a²-2ab+b²+a²-2a+1+b²-2b+1
=(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²>=0
所以2a^2+2b^2+2>=2ab+2a+2b
即a^2+b^2+1≥ab+a+b

(a^2+b^2+1)-(ab+a+b)=(1/2)*[(a-b)^2+(b-1)^2+(a-1)^2]≥0,
故a^2+b^2+1≥ab+a+b。证毕。