作业帮在三角形ABC中,角C=90度,P为三角形内一点,且三角形 (14 16:59:16)在三角形ABC中,角C=90度,P为三角形内一点,且三角形PAB,PBC,PCA面积相等,求证PA的平方加PB的平方等于5倍的PC平方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 16:41:22
在三角形ABC中,角C=90度,P为三角形内一点,且三角形 (14 16:59:16)在三角形ABC中,角C=90度,P为三角形内一点,且三角形PAB,PBC,PCA面积相等,求证PA的平方加PB的平方等于5倍的PC平方
在三角形ABC中,角C=90度,P为三角形内一点,且三角形 (14 16:59:16)
在三角形ABC中,角C=90度,P为三角形内一点,且三角形PAB,PBC,PCA面积相等,求证PA的平方加PB的平方等于5倍的PC平方
在三角形ABC中,角C=90度,P为三角形内一点,且三角形 (14 16:59:16)在三角形ABC中,角C=90度,P为三角形内一点,且三角形PAB,PBC,PCA面积相等,求证PA的平方加PB的平方等于5倍的PC平方
证明 已知ΔABC是直角三角形,AB为斜边,记AB=c,BC=a,CA=b.则有:
c^2=a^2+b^2.(1)
满足:S(PAB)=S(PBC)=S(PCA),易证P是RtΔABC的重心.
设mc,ma,mb分别表示RtΔABC的对应边AB,BC,CA上的中线,则有
PC=2mc/3,PA=2ma/3,PB=2mb/3.
而三角形中线公式为:
4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2,
4(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2,
4(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2.
欲证明PA^2+PB^2=5PC^2,等价于证明
4(ma)^2+4(mb)^2=20(mc)^2 (2)
因为在RtΔABC中,4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=c^2
而4(ma)^2+4(mb)^2=4c^2+a^2+b^2=5c^2.
所以(2)式成立.
过点P作两条直角边的垂线 交CA CB于E F
因为3个面积相等 所以每个的面积都是1/3
那么PE*CA=PF*CB=1/3CA*CB
所以 PE=1/3*CB PF=1/3*CA
所以 PA^2=(1/3BC)^2+(2/3CA)^2
PB^2=(1/3CA)^2+(2/3CB)^2
PC^2=(1/3CA)^2+(1/3CB)^2
你可以画图看看
所以得证