作业帮急求2009浙江省高中数学竞赛的试题.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:09:52
急求2009浙江省高中数学竞赛的试题.
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2009年浙江省永康市明珠学校
高中数学竞赛试卷
（满分：100分,时间：120分钟.）
一、选择题（每题6分,共36分）.
1．①当椭圆的离心率越接近1 时,椭圆就越扁；
②当双曲线的离心率越大时,它的开口就越开阔；
③当抛物线 的的系数 越大时,抛物线的开口就越开阔；
④以椭圆短轴端点为圆心,长半轴长为半径的圆一定经过椭圆的焦点；
上述四种说法中正确的有（D）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2．已知异面直线a、b所成的角为60 ,则过空间一定点O,与两条异面直线a、b都成60 角的直线有（C）条
A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知－1＜ ＜3,且2＜ ＜4,则 的范围是（D）
A.B.C.D.
由待定系数法或线性规划可得.
4．如果 ,则使 的 的取值范围为（B）
A.B.C.D.
显然 ,且 .
.
要使 .当 时,,即 ；当 时,,无解.
由此可得,使 的 的取值范围为 .
5． ,,则 ＝（C）
A.B.R C.D.
没有实数 可以使上述不等式成立.故 .从而有 .
6.从1至169的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（C）
A.89种 B.90种 C.91种 D.92种
若取出的3个数构成递增等比数列 ,则有 .由此有 .当 固定时,使三个数 为整数的 的个数记作 .由 ,知 应是 的整数部分.,,.因此,取法共有 .
二、 填空题（每题6分,共36分）.
7.若 ,则 的最小值为 .
由柯西不等式 （ ≥ =1可得.
8．已知定点A（3,0）和B（－2,1）,又M是椭圆 上的一动点,则 的最大值与最小值之和等于20.
设椭圆另一焦点为F,=10+|MB|-|MF|,线段MF延长线与椭圆的两交点即为取得最小值和最大值的点.
9．设 是定义在R上的奇函数,且满足 ；又当 时,,则方程 的解集为 .
依题意,,即 是以4为周期的周期函数.
可求得
由图象有 ,（ ）.
10．过正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S,Smax和Smin分别为S的最大值和最小值,则 的值为 .
面DD BB 或D C BA等最大,面D EBF等最小（E为C B 中点,F为AD中点）.
11.整数 ,且 ,则整数组 为（2,-1,-3）.
方程两边同乘以8,得 .因为 ,所以要使左边为奇数,只有 ,即 .则 .要使左边为奇数,只有 ,即 .从而有 ,即 .故有 .
12.,则不超过 的最大整数为 .
,
,
,
三、解答题（8分+8分+12分=28分）.
13．已知不等式 对一切正整数 均成立,求正整数 的最大值,并证明你的结论.
证：先证f(n)= 单调递增,则f(1)= 最小
故 > .
14．设 为 的单调递增数列,且满足 ,求{ }的通项公式.
（由题意可知取正号.）
因此,公差为2的等差数列,即 .从而可得
15．已知抛物线 和 .过 任作直线,交抛物线于B、C两点.
⑴求△ABC重心的轨迹方程,并表示成 形式；
⑵数列 中,,且满足 .试证：
（1）设过 的直线方程为 .又设 ,,联立 消去 ,得 .从而有,
,.
设△ABC的重心坐标为 ,则
消去k,即得 .
（2）因为 ,,所以
,
上式右边等号成立当且仅当 .假设 ,则
,
上式右边等号成立当且仅当 .由此得到 （ ）.从而有
.
累了吧?猜个谜吧!
⑴ 多少（打一数学名词） 答案：几 何 ；
⑵不二价(打一数学名词) 答案：.