作业帮线性代数问题 数学问题 矩阵问题 为什么秩相等就等价
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 05:43:57
线性代数问题 数学问题 矩阵问题 为什么秩相等就等价
线性代数问题 数学问题 矩阵问题 为什么秩相等就等价
线性代数问题 数学问题 矩阵问题 为什么秩相等就等价
秩为m的矩阵A总和标准形H等价,即存在可逆矩阵P和Q满足PAQ=H
H=
（Em O
O O )
若r(B)=r(A)=m,说明他们呢标准型H相同,则存在可逆矩阵M和N使得所以PAQ=MBN=H,即(M^-1P)A(QN^-1)=B
注意到M^-1P和QN^-1都是可逆矩阵,A与B等价
等价不是相等，等价只是个定义，在某些方面他们有相同的性质。
这里应该是完全同型的矩阵才成立。
因为经过初等行、列变换后，任何矩阵都可以化成左上角是一个单位阵、其余元素都是0的形式的矩阵，单位阵的阶就是秩。
而初等行、列变换都是可逆变换，所以，秩相等的两个同型矩阵可以将其中的一个经过初等变换化成另一个，因此等价。...
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这里应该是完全同型的矩阵才成立。
因为经过初等行、列变换后，任何矩阵都可以化成左上角是一个单位阵、其余元素都是0的形式的矩阵，单位阵的阶就是秩。
而初等行、列变换都是可逆变换，所以，秩相等的两个同型矩阵可以将其中的一个经过初等变换化成另一个，因此等价。
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一楼正解
只有等价才能推出秩相等，谁告诉你秩相等能推出等价
设A与B等价
则存在可逆矩阵P,Q满足 PAQ = B.
因为可逆矩阵可能表示成初等矩阵的乘积
故 P = P1....Ps, Q = Q1....Qt
且有 P1....Ps A Q1....Qt = B.
初等矩阵左(右)乘A, 相当于进行相应的初等行(列)变换
而初等变换不改变矩阵的秩
所以 r(A) = r(P1....Ps A ...
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设A与B等价
则存在可逆矩阵P,Q满足 PAQ = B.
因为可逆矩阵可能表示成初等矩阵的乘积
故 P = P1....Ps, Q = Q1....Qt
且有 P1....Ps A Q1....Qt = B.
初等矩阵左(右)乘A, 相当于进行相应的初等行(列)变换
而初等变换不改变矩阵的秩
所以 r(A) = r(P1....Ps A Q1....Qt) = r(B).
矩阵等价的定义就是：
1.矩阵形状相同
2.秩相同
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