同问 在正方形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N（1）求证：∠EAF=45°（2）求证：MN²=BM²+DN²

同问 在正方形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N（1）求证：∠EAF=45°（2）求证：MN²=BM²+DN²
同问 在正方形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N
（1）求证：∠EAF=45°
（2）求证：MN²=BM²+DN²

同问 在正方形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF.AE,AF分别与对角线BD交于M,N（1）求证：∠EAF=45°（2）求证：MN²=BM²+DN²
(1).把△ABE绕点A逆时针旋转90度．
得到△AGF≌△AEF
∴∠EAF=∠GAF=(1/2)×90°=45°．
(2) ∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°,
将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°,则AD与AB重合,得到△ABK,
则∠ABK=∠ADN=45°,BK=DN,AK=AN,
与（1）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK,
∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°,
∴△BMK为直角三角形,
∴BK2+BM2=MK2,
∴BM2+DN2=MN2．

证明：在CB的延长线上取点G，使BG＝DF，连接AG，过点B作BH⊥BD交AG于H，连接MH
∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝∠BAD＝90, ∠ABD＝∠ADB＝45
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝90-∠EAF
∵BG＝DF
∴△ABG≌△ADF （SAS）
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF
∴∠EAG＝∠B...

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证明：在CB的延长线上取点G，使BG＝DF，连接AG，过点B作BH⊥BD交AG于H，连接MH
∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝∠BAD＝90, ∠ABD＝∠ADB＝45
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝90-∠EAF
∵BG＝DF
∴△ABG≌△ADF （SAS）
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF
∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝90-∠EAF
∵EG＝BE+BG＝BE+DF，EF＝BE+DF
∴EG＝EF
∵AE＝AE
∴△AEF≌△AEG （SSS）
∴∠EAG＝∠EAF
∴∠EAF＝90-∠EAF
∴∠EAF＝45°
∵BH⊥BD
∴∠HBD＝90,MH²＝BM²+BH²
∴∠ABH＝∠HBD-∠ABD＝45
∴∠ABH＝∠ADN
∴△ABH≌△ADN （ASA）
∴BH＝DN，AH＝AN
∵AM＝AM
∴△AMH≌△AMN （SAS）
∴MH＝MN
∴MN²=BM²+DN²
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（1）延长CB，使BG=DF，连接AG
因为ABCD是正方形
所以AB=AD
角BAD=角ABG=角ADF=90度
所以直角三角形ABG和直角三角形ADF全等（SAS)
所以角BAG=角DAF
AG=F
因为EF=BE+DF
EG=BG+BE
所以EG=EF
因为AE=AE
所以三角形GAE和三角形FAE全等（...

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（1）延长CB，使BG=DF，连接AG
因为ABCD是正方形
所以AB=AD
角BAD=角ABG=角ADF=90度
所以直角三角形ABG和直角三角形ADF全等（SAS)
所以角BAG=角DAF
AG=F
因为EF=BE+DF
EG=BG+BE
所以EG=EF
因为AE=AE
所以三角形GAE和三角形FAE全等（SSS)
所以角GAE=角EAF
因为角BAD=角BAE+角EAF+角DAF
角GAE=角BAG+角BAE
所以2角EAF=90度
所以角EAF=45度
（2）证明：过点B角ABG的平分线BH且与AG相交于H，连接MH
所以角GBH=角ABH=1/2角ABG
因为ABCD是正方形
所以角ABG=90度
角NDF=角ABM=45度
所以角GBH=角ABH=45度
因为三角形ABG和三角形ADF全等（已证0
所以角G=角DFH
角GBH=角NDF=45度
BG=DF
所以三角形GBH和三角形FDN全等（ASA)
所以GH=FN
BH=DN
因为角HBM=角ABH+角ABM=45+45=90度
所以在直角三角形HBM中，由勾股定理得：
MH^2=BM^2+BH^2
所以MH^2=BM^2+DN^2
因为AG=AF（已证）
AG=AH+GH
AF=AN+FN
所以AH=AN
因为角EAF=45度（已证)
角GAF=角EAF=45度
因为AM=AM
所以三角形HAM和三角形NAM全等（SAS)
所以MH=MN
所以MN^2=BM^2+DN^2

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