作业帮证明:若函数y=f(x),x为实数满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a为实数）,则f(x)是周期函数,且6a是它的一个周期
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:09:02
证明:若函数y=f(x),x为实数满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a为实数）,则f(x)是周期函数,且6a是它的一个周期
证明:若函数y=f(x),x为实数满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a为实数）,则f(x)是周期函数,且6a是它的一个周期
证明:若函数y=f(x),x为实数满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a为实数）,则f(x)是周期函数,且6a是它的一个周期
f(x)=f(x-a)+f(x+a).
得到:f(x+a)=f(x)+f(x+2a).
两式相加得f(x-a)+f(x+2a)=0.
即:f(x+2a)+f(x+5a)=0.
两式相减得f(x-a)=f(x+5a).
即得:f(x)=f(x+6a).
∴函数f(x)的周期为6a.
证明：
因为f(x) = f(x-a) + f(x+a)
以x+a代入，得
f(x+a) = f(x) + f(x+2a)
所以
f(x) = f(x-a) + f(x+a)
= f(x-a) + f(x) + f(x+2a)
两边消去f(x)，得
f(x-a) + f(x+2a) = 0
即f(x-a) = -f(x+2a)...
全部展开
证明：
因为f(x) = f(x-a) + f(x+a)
以x+a代入，得
f(x+a) = f(x) + f(x+2a)
所以
f(x) = f(x-a) + f(x+a)
= f(x-a) + f(x) + f(x+2a)
两边消去f(x)，得
f(x-a) + f(x+2a) = 0
即f(x-a) = -f(x+2a)
以y = x-a代入，
所以f(y) = -f(y+3a)
再以y = x+3a代入，
得
f(x+3a) = -f(x+6a)
因此
f(x) = -f(x+3a) = f(x+6a)
所以f(x)是一个周期函数，6a是它的一个周期。
收起
f(x)=f(x-a)+f(x+a)=>f(x+a)=f(x)-f(x-a)=>f(y)=f(y-a)-(y-2a)
由上式
f(x+6a)=f(x+5a)-f(x+4a)=f(x+4a)-f(x+3a)-f(x+4a)=-f(x+3a)=-f(x+2a)+f(x+a)
=-f(x+a)+f(x)+f(x+a)=f(x)
下面回答的都不错，但是我想说的是你不能局限思维，要学会解题的方法，而不仅仅是结果