求极限有幂运算时可以用等价无穷小代换吗?如lim[x->0,(1+sinx)^(1/2x)],其中指数1/2x中的x能用sinx直接替换吗? sinx也不能直接被替换成x吧?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 16:55:32

求极限有幂运算时可以用等价无穷小代换吗?如lim[x->0,(1+sinx)^(1/2x)],其中指数1/2x中的x能用sinx直接替换吗? sinx也不能直接被替换成x吧?
求极限有幂运算时可以用等价无穷小代换吗?
如lim[x->0,(1+sinx)^(1/2x)],其中指数1/2x中的x能用sinx直接替换吗? sinx也不能直接被替换成x吧?

求极限有幂运算时可以用等价无穷小代换吗?如lim[x->0,(1+sinx)^(1/2x)],其中指数1/2x中的x能用sinx直接替换吗? sinx也不能直接被替换成x吧?
那要看你对等价无穷小概念的理解了.
所谓等价无穷小其实为了求解极限方便而引入的概念,根据依然是泰勒展开,只不过是泰勒展开的低阶近似.
之所以老师们一再强调只有乘除关系可以替换,是因为乘除关系中,展开的阶次不影响结果,但是加减中不同,例如sinx-x不能用x替换sinx,原因不是说sinx在加减位置上,而是因为此时sinx用x替换的误差太大,精度不够,导致减去x后变为0,而其实还有一个等价无穷小替换是sinx-x~x^3/6,这里之所以这样替换其实是将sinx展开到了更高的精度,这样计算才不会出错.
根据我和清华大学数学系章老师的询问,结果是“等价无穷小替换,只要精度够高,可以在任何位置替换”.
不知道明白没有,所以负责任地告诉你,这道题可以直接将sinx替换为x,因为此时与sinx在加减位置上的是1,不是无穷小,所以不影响结果,替换为x的精度足够

不可以，只有相乘关系的才可以用等价无穷小代换。

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