关于对数函数的数学题已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)(1)求函数f(x)的定义域(2)判断f(x)的奇偶性(3)方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间(a,b)使x0∈(a,b)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 19:57:01

关于对数函数的数学题已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)(1)求函数f(x)的定义域(2)判断f(x)的奇偶性(3)方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间(a,b)使x0∈(a,b)
关于对数函数的数学题
已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)
(1)求函数f(x)的定义域
(2)判断f(x)的奇偶性
(3)方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间(a,b)使x0∈(a,b);如果没有,请说明理由.(注:区间(a,b)的长度为(b-a))

关于对数函数的数学题已知函数f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)(1)求函数f(x)的定义域(2)判断f(x)的奇偶性(3)方程f(x)=x+1是否有根?如果有根x0请求出一个长度为四分之一的区间(a,b)使x0∈(a,b)
(1)因为f(x)=log2(1-x)-log2(1+x),为使对数有意义,令
1-x>0,1+x>0,
解之,-1<x<1.
故函数f(x)的定义域为(-1, 1).
(2)定义域关于原点对称,对任意x∈(-1, 1),
f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)
 设g(x)=f(x)-(x+1)=log2(1-x)-log2(1+x)-x-1,显然g(x)在(-1, 1)内是减函数,(单调)
    g(-1/2)=log2(3/2)-log2(1/2)-1/2=log2(3)-1/2>log2(2)-1/2=1-1/2=1/2>0,
    g(1/2)=log2(1/2)-log2(3/2)-3/2=-log2(3)-3/2<0,
    g(x)在区间[-1/2, 1/2]两端异号,由连续性,g(x)=0在区间(-1/2, 1/2)内必有实根,即方程f(x)=x+1在区间(-1/2, 1/2)内有实根x0.
    下面用折半法求x0更精确一些的区间.
    因为g(0)=-1<0,g(-1/2)*g(0)<0,所以x0在区间(-1/2, 0)内.
    g(-1/4)=log2(5/4)-log2(3/4)-3/4=log2(5/3)-3/4,因为(5/3)^4=625/81<640/80=8=2^3,所以4*log2(5/3)<3,log2(5/3)<3/4,g(-1/4)=log2(5/3)-3/4<0,g(-1/2)*g(-1/4)<0,所以x0在区间(-1/2, -1/4)内.
所以,区间(-1/2, -1/4)即为所求.
 也可以用图像法来解.
    在同一个坐标系中做出y1=f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)的图像与y2=x+1的图像,如图所示,两者有交点,说明方程f(x)=x+1在(-1, 1)内有实数解.(有图像观察,交点的横坐标大致在-0.25附近,可取a=-3/8,b=-1/8.)由于图像法的误差大,如果不是计算机绘图,会很不准确.

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