如何证明三角形的三条高交于一点?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 19:58:08

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如何证明三角形的三条高交于一点?
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已知：如图,△ABC中,三边上的高线分别是AX,BY,CZ,X,Y,Z为垂足,求证：AX,BY,CZ交于一点．
分析：要证AX,BY,CZ相交于一点,可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点来证,只须构造出一个新三角形A′B′C′,使AX,BY,CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线,则AX,BY,CZ必然相交于一点．
证明：分别过A,B,C作对边的平行线,则得到△A′B′C′．
∵四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形,∴AC′=BC=AB′．
∵AX⊥BC于X,且BC∥B′C′,
∴AX⊥B′C′于A,那么AX即为B′C′之垂直平分线．
同理,BY,CZ分别为A′C′,A′B′的垂直平分线,
∴AX,BY,CZ相交于一点H．

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