已知点M是三角形ABC所在平面内的一点,且满足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三条边长AB*BC*CA的最大值是

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:15:07

已知点M是三角形ABC所在平面内的一点,且满足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三条边长AB*BC*CA的最大值是
已知点M是三角形ABC所在平面内的一点,且满足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三条边长AB*BC*CA的最大值是

已知点M是三角形ABC所在平面内的一点,且满足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三条边长AB*BC*CA的最大值是
介绍一个引理:设G是△ABC的重心,则MA²+MB²+MC² = GA²+GB²+GC²+3MG².
用向量法的证明最简单,作为向量有MA = MG+GA,MB = MG+GB,MC = MG+GC.
于是MA²+MB²+MC² = GA²+GB²+GC²+3MG²+2MG·(GA+GB+GC) = GA²+GB²+GC²+3MG².
其中用到G是重心,故GA+GB+GC = 0.
由上面结论,GA²+GB²+GC² ≤ MA²+MB²+MC² = 4.
而AB²+BC² = GA²+GB²+GC²+3GB² = GA²+4GB²+GC².
同理BC²+CA² = GA²+GB²+4GC²,CA²+AB² = 4GA²+GB²+GC².
相加得AB²+BC²+CA² = 3(GA²+GB²+GC²) ≤ 12.
由均值不等式,AB²*BC²*CA² ≤ ((AB²+BC²+CA²)/3)³ ≤ 64.
故AB*BC*CA ≤ 8.
又易见△ABC等边且M为其中心时,等号成立.
因此AB*BC*CA的最大值就是8.

已知点M为三角形ABC所在平面内的一点,且满足3向量AM=向量AB+向量AC,则点M是三角形ABC的A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 已知点M是三角形ABC所在平面内的一点,且满足MA^2+MB^2+MC^2=4 ,那么三角形ABC三条边长AB*BC*CA的最大值是 若点m是三角形abc所在平面内的一点,且满足5向量am=向量ab+3向量ac,则三角形abm与三角形的面积比为三角形abm与三角形abc的面积比 已知P是三角形ABC所在平面内的一点,若BC向量等于xPA向量加BP向量,其中x属于R,则点P一定在? 已知点p是三角形ABC所在平面a外的一点,点O是点p在平面a上的射影.（1）若点p到三角形的三边距离相等,点O在三角形ABC内,则点O是三角形ABC的什么心?内心）(2)若点p到三角形ABC的三个顶点距离相 若点M是三角形ABC所在平面内的一点 且满足向量AM=3/4向量AB+1/4向量AC 则三角形ABM比三角形ABC的面积比为 已知P是三角形ABC所在平面内的一点,若CB向量=入PA向量+PB向量,入属于R,则点P一定在哪?..已知P是三角形ABC所在平面内的一点,若CB向量=入PA向量+PB向量,入属于R,则点P一定在哪? 已知点P是三角形ABC所在平面内一点,3PA向量+5PB向量+2PC向量=0,设三角形ABC面积为S,则三角形PAC的面积 若P为三角形ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证点P在三角形ABC所在平面内的射影是三角形ABC的外心. 若点M是△ABC是所在平面内一点,且满足AM=3/4向量AB+1/4向量AC 则三角形ABM比三角形ABC的面积比为? 已知等边三角形abc;在三角形abc所在的平面内有一点m,点m使三角形abm,三角形bcm,三角形acm都是等腰三角请问这样的m点有几个？端午节快乐！是不是有10个点？ 已知点P是三角形ABC所在平面内的一点,且满足3PA+5PB+2PC=0,设ABC的面积为S,则三角形PAC的面积为 已知P是三角形ABC所在平面内的一点,若向量CB=x向量PA+向量PB,则点P一定在AC边所在的直线上 给出证明 已知p是三角形abc所在平面内一点 且满足向量CB=λPA+PB 则点P一定在 已知P是三角形ABC所在平面内一点,且向量PA+向量PB+向量PC=向量AB,则点P为什么在AC边上? 已知O是三角形所在平面内的一点,且满足向量摸OB-OC=OB+OC-2OA,则三角形ABC的形状是 三角形ABC所在平一点P到三角形ABC的三边距离相等,求证它在三角形ABC所在平面内的射影是三ABC角内心 已知P是三角形ABC所在平面内一点,若向量CB=γ向量PA+向量PB ,γ属于R,则点P 一定在A.三角形ABC内部B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上为什么,