求二阶常系数线性非齐次微分方程y''-y=x^2的通解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 23:09:24

求二阶常系数线性非齐次微分方程y''-y=x^2的通解
求二阶常系数线性非齐次微分方程y''-y=x^2的通解

求二阶常系数线性非齐次微分方程y''-y=x^2的通解
是不是可以观察出来呢?
若y=-x^2,则y''-y=x^2-2
令y=-x^2-2,则y''-y=x^2
故y=-x^2-2,是方程的特解
要求通解,容易想到(e^x)''-e^x=0及[e^(-x)]''-[e^(-x)]=0
故通解为y=-x^2-2+C[1]e^x+C[2]e^(-x)

-2-x^2+ C1 e^x +C2 e^-x = y
这个不可以降阶，只能按一般二阶的来算。
求解过程：
特征方程 r^2-1=0, r= -1 or r=1，齐次方程通解为C1 e^x +C2 e^-x = y
特解求法：
x^2属于 e^λx P(x)。。。λ=0，P(x)=x^2，λ不是特征方程的解，特解y*=x^k Q(x) e^λx
k...

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-2-x^2+ C1 e^x +C2 e^-x = y
这个不可以降阶，只能按一般二阶的来算。
求解过程：
特征方程 r^2-1=0, r= -1 or r=1，齐次方程通解为C1 e^x +C2 e^-x = y
特解求法：
x^2属于 e^λx P(x)。。。λ=0，P(x)=x^2，λ不是特征方程的解，特解y*=x^k Q(x) e^λx
k=0, Q(x)为P(x)同次多项式，待定系数【这里是2次】。具体看高数书吧

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