作业帮高三不等式证明1+1/(2*根号2)+1/(3*根号3）+...+1/(n*根号n)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 02:49:56
高三不等式证明1+1/(2*根号2)+1/(3*根号3）+...+1/(n*根号n)
高三不等式证明
1+1/(2*根号2)+1/(3*根号3）+...+1/(n*根号n)<3
高三不等式证明1+1/(2*根号2)+1/(3*根号3）+...+1/(n*根号n)
想错了
你今天学习了什么内容啊！告诉我，我就才会帮你搞定
数学归纳法可解
此题还好了。想了我一会。。
我用“√”表示根号、希望你看得懂
当n>=2
1/n=1/(√n*√n)<1/(√(n-1)*√n)=[1/(√n-√(n-1))]*[1/√(n-1)-1/√n]=[√n+√(n-1)]*[1/√(n-1)-1/√n]
因此1/(n√n)<[1+√(1-1/n)]*[1/√(n-1)-1/√n]<2[1/√(n-1)-1/√n]
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此题还好了。想了我一会。。
我用“√”表示根号、希望你看得懂
当n>=2
1/n=1/(√n*√n)<1/(√(n-1)*√n)=[1/(√n-√(n-1))]*[1/√(n-1)-1/√n]=[√n+√(n-1)]*[1/√(n-1)-1/√n]
因此1/(n√n)<[1+√(1-1/n)]*[1/√(n-1)-1/√n]<2[1/√(n-1)-1/√n]
所以1+1/(2*根号2)+1/(3*根号3）+...+1/(n*根号n)
<1+2(1-1/√2+1/√2-1/√3+1/√3-1/√4+.....+1/√(n-1)-1/√n)
=1+2-2/√n<3
收起
易知，当n≥2时，恒有:3n+1＞0.
∴n²-n＜n²+2n+1.
∴0＜n(n-1) ＜(n+1) ².
∴√[n(n-1)] ＜n+1.
∴√[n(n-1)]+(n-1) ＜2n.
∴(√(n-1))[( √n)+ √(n-1)] ＜2n.
∴√(n-1) ＜2n[√n-√(n-1)]
∴[√(n-1)]/...
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易知，当n≥2时，恒有:3n+1＞0.
∴n²-n＜n²+2n+1.
∴0＜n(n-1) ＜(n+1) ².
∴√[n(n-1)] ＜n+1.
∴√[n(n-1)]+(n-1) ＜2n.
∴(√(n-1))[( √n)+ √(n-1)] ＜2n.
∴√(n-1) ＜2n[√n-√(n-1)]
∴[√(n-1)]/(n√n) ＜2{1-[√(n-1)/ √n]}
∴1/(n√n) ＜2{[1/√(n-1)]-[1/√n]}.
∴1/(2√2) ＜2[1-(1/√2)].
1/(3√3) ＜2[(1/√2)-(1/√3)].
1/(4√4) ＜2[(1/√3)-(1/√4)].
。。。。
1/(n√n) ＜2[1/√(n-1)- 1/√n].
累加可得：
1/2√2+1/3√3+1/4√4+…+1/n√n＜2[1-(1/√n)] ＜2.
∴1+1/2√2+1/3√3+1/4√4+…+1/n√n＜3.
收起