数学正弦定理谁来证明一下正弦定理……!200分!

数学正弦定理谁来证明一下正弦定理……!200分!
数学正弦定理
谁来证明一下正弦定理……!200分!

数学正弦定理谁来证明一下正弦定理……!200分!
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍）
这一定理对于任意三角形ABC,都有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
R为三角形外接圆半径
证明
步骤1.
在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.
[编辑本段]意义
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,又由正弦函数在区间上的单
调性可知,正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
[编辑本段]扩展
一.三角形面积公式：
1.海伦公式:
设P=(a+b+c)/2
S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
2.S△ABC=ab·sinC/2=bc·sinA/2=ac·sinB/2=abc/(4R)[R为外接圆半径]
3.S△ABC=ah/2
二.正弦定理的变形公式
(1) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2) sinA :sinB :sinC = a :b :c;
（条件同上）
在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
(3)相关结论:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)

根据面积相等
1/2acsinB=1/2AbsinC=1/2bcsinA

在三角形的外接圆里证明会比较方便
例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：
2RsinD＝BC （R为三角形外接圆半径）
角A＝角D
得到：2RsinA＝BC
同理：2RsinB＝AC，2RsinC＝AB
这样就得到正弦定理了

http://v.youku.com/v_show/id_XMTA3OTM2MTk2.html

步骤1.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB...

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步骤1.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。

收起

任意作一个三角形，作其任一边的高，记为h，则此边左右的俩角（记为角A和角C)的正弦分别就是h和上述2角所对之边（记为A和C）的比值，再将这两个正弦值相比，可以将h消掉，得出两角正弦之比等于其所对边之比，即角A正弦：角C正弦=A:C----正弦定理，其余角的通理。...

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任意作一个三角形，作其任一边的高，记为h，则此边左右的俩角（记为角A和角C)的正弦分别就是h和上述2角所对之边（记为A和C）的比值，再将这两个正弦值相比，可以将h消掉，得出两角正弦之比等于其所对边之比，即角A正弦：角C正弦=A:C----正弦定理，其余角的通理。

收起

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

  CH=a·sinB

  CH=b·sinA

  ∴a·sinB=b·sinA

  得到

  a/sinA=b/sinB

  同理，在△ABC中，

  b/sinB=c/sinC

途中，作三角形ABC的外接圆，作BO交圆与D

有∠A=∠BDC

又因为BC=BD*sin∠BDC

所以a=BC=2R*sin∠A

即a/sin∠A=2R

同理可证a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2R

在三角形的外接圆里证明会比较方便
例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：
2RsinD＝BC （R为三角形外接圆半径）
角A＝角D
得到：2RsinA＝BC
同理：2RsinB＝AC，2RsinC＝AB