证明 5个连续自然数的乘积是120的整数倍

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 23:48:58

证明 5个连续自然数的乘积是120的整数倍
证明 5个连续自然数的乘积是120的整数倍

证明 5个连续自然数的乘积是120的整数倍
即欲证能被120整除（n为正整数）
证明：
1、当n=1时1*2*3*4*5=120,能被120整除,原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立,则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4） +5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数
重复
四个数中两奇两偶,一定有4的倍数,3的倍数,还有另一个偶数,所以一定能被4*2*3=24整除 .
即当n=k+1时原命题成立
所以,综合1、2、,原命题对任何自然数成立

120＝2*2*2*3*5
5个连续自然数，必然有一个是3的倍数，必然有一个是2的倍数，一个是4的倍数，也有一个是5的倍数，因此5个连续自然数，至少有一个约数3，一个约数5，三个约数2，因此，5个连续自然数的乘积是120的整数倍

5个连续自然数，必然有一个是3a，一个是2b，一个是4c，也有一个是5d,另外一个e
a*2b*4c*5d*e=120abcde
5个连续自然数的乘积是120的整数倍

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