若正实数x,y满足x+4y+5=xy,则xy存在最值还是x+y存在最值?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 09:44:12

若正实数x,y满足x+4y+5=xy,则xy存在最值还是x+y存在最值?
若正实数x,y满足x+4y+5=xy,则xy存在最值还是x+y存在最值?

若正实数x,y满足x+4y+5=xy,则xy存在最值还是x+y存在最值?
x+4y>=4倍的根号下（xy）
所以xy>=5+4倍的根号下（xy）
利用上式可以解出xy的值

用y做x,
由x=(4y+5)/(y-1) 得x+y=(y^2+3y+5)/(y-1)=[(y-1)^2+4(y-1)+8]/(y-1)=(y-1)+8/(y-1)+4>=4√2 +4
所以x+y的最小值是4√2 +4
同样，由x=(4y+5)/(y-1) 得xy=(4y^2+5y)/(y-1)=[4(y-1)^2+13(y-1)+9]/(y-1)=4(y-1)+9/(y-1)+13>=25
所以：xy 的最小值是 25

用y做x,
由x=(4y+5)/(y-1)
得x+y=(y²+3y+5)/(y-1)=[(y-1)²+4(y-1)+8]/(y-1)=(y-1)+8/(y-1)+4≥4√2 +4
所以x+y的最小值是4√2 +4
同样，由x=(4y+5)/(y-1) 得xy=(4y²+5y)/(y-1)=[4(y-1)²+13(y-1)+9]/(y-1)=4(y-1)+9/(y-1)+13≥25
所以：xy 的最小值是 25

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