求定积分[x+√(1-x^2)]^2范围[1,-1]

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 07:46:27

求定积分[x+√(1-x^2)]^2范围[1,-1]
求定积分[x+√(1-x^2)]^2
范围[1,-1]

求定积分[x+√(1-x^2)]^2范围[1,-1]
把括号展开,消掉x^2,之后积分,前半部分奇函数关于原点对称,积分为0,后半部分常数1积分为2,所以答案为2.

采用换元法。
令x=sinθ
-1≤x≤1 -1≤sinθ≤1，积分区间[-π/2，π/2] (定积分，积分区间也可以用别的，只要是区间长度为π就可以)
[x+√(1-x²)]²
=(sinθ+|cosθ|)²
=sin²θ+cos²θ+2sinθ|cosθ|
=1+2sinθ|cosθ|

全部展开

采用换元法。
令x=sinθ
-1≤x≤1 -1≤sinθ≤1，积分区间[-π/2，π/2] (定积分，积分区间也可以用别的，只要是区间长度为π就可以)
[x+√(1-x²)]²
=(sinθ+|cosθ|)²
=sin²θ+cos²θ+2sinθ|cosθ|
=1+2sinθ|cosθ|
θ∈[-π/2，π/2] 0≤cosθ≤1
[x+√(1-x²)]²=1+2sinθcosθ
∫(-1，1)[x+√(1-x²)]² dx
=∫(-π/2，π/2)(1+2sinθcosθ)d(sinθ)
=∫(-π/2，π/2)(cosθ+2sinθcos²θ)d(θ)
=sinθ-cos²θ |(-π/2，π/2)
=[sin(π/2)-cos²(π/2)]-[sin(-π/2)-cos²(-π/2)]
=(1-0)-(-1-0)
=2

收起

求定积分[x+√(1-x^2)]^2范围[1,-1] 定积分∫(范围1-2)xf(x)dx=2,求定积分∫(范围0-3)f√(x+1)dx=? 求定积分∫x*√1+cosx dx 范围从0到2π 2x的绝对值dx,范围是负一到二,求定积分 求定积分 (lnx)^2/1+x 求定积分∫x/(x+2)^2dx 范围从-1到1 求定积分∫1/√2+2x+x^2dx,范围是0到((√3)-1) 求定积分∫x-1/1+√2x-1 dx 范围从1到5 定积分∫（ 定积分范围是1到2）√【1-(x-2)^2】dx 积分上限2,积分下限1,求√x*lnx的定积分, 求定积分∫[√(1+x^2)]/xdx 定积分(xe^x)/(1+X)^2(定积分的范围是x属于0-1)e/2-1 求定积分∫(sinx)^3/(x^2+1)dx 范围-π/2到π/2 求定积分（1+t^2）^3在（0.x）的范围 求定积分0--π x|cosx|dx/1+sin^2x 使用三角函数定积分 定积分问题：求x/√（1-x^2）在[0,1]上的定积分 求1/((1+x^2)x^2)的定积分 求ln(1+x^2)*x的定积分