证明不等式(tanx)^sinx+(cotx)^cosx≥2,(0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 12:36:09

证明不等式(tanx)^sinx+(cotx)^cosx≥2,(0
证明不等式(tanx)^sinx+(cotx)^cosx≥2,(0

证明不等式(tanx)^sinx+(cotx)^cosx≥2,(0
因为00,(cotx)^cosx>0
根据代数几何平均不等式：
(tanx)^sinx+(cotx)^cosx
>= 2倍根号下[(tanx)^sinx * (cotx)^cosx]
=2倍根号下[(tanx)^sinx *(tanx)^-cosx]
=2 * [(tanx)^(1/2)(sinx-cosx)] .A
考察A：
(0,π/4),0＜tanx＜1,sinx-cosx＜0,(tanx)^(sinx-cosx) ＞1,2[(tanx)^(1/2)(sinx-cosx)]＞2,
[π/4,π/2),1＜=tanx＜∞,sinx-cosx＞=0,(tanx)^(sinx-cosx) ＞=1,2[(tanx)^(1/2)(sinx-cosx)]＞=2,
综上,(tanx)^sinx+(cotx)^cosx≥2 ,得证

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0tanx＞0，cotx＞0，sinx＞0，cosx＞0
(tanx)^sinx+(cotx)^cosx
= { √[(tanx)^sinx] - √[(cotx)^cosx] }^2 + 2√[(tanx)^sinx] √[(cotx)^cosx]
= { √[(tanx)^sinx] - √[(cotx)^cosx] }^2 + 2√{ (tanx)^sinx / [(tanx)^cosx }
= { √[(tanx)^sinx] - √[(cotx)^cosx] }^2 + 2√{ (tanx)^(sinx-cosx) }
当0当π/4当x=π/4时，√[(tanx)^sinx] - √[(cotx)^cosx] }^2=0，2√{ (tanx)^(sinx-cosx) }=2
{ √[(tanx)^sinx] - √[(cotx)^cosx] }^2 ≥0
∴ { √[(tanx)^sinx] - √[(cotx)^cosx] }^2 + 2√{ (tanx)^(sinx-cosx) }≥2，得证。

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