已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 12:49:50

已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹
已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹

已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹
设过点A(1,2)的圆的弦所在直线y=k(x-1)+2=kx+(2-k)
与圆O交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点
中点P的坐标(x0,y0)
2x0=x1+x2
2y0=y1+y2
x1^2+y1^2=9.1式
x2^2+y2^2=9.2式
2-1式
(x2+x1)(x2-x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0
(x2+x1)(x2-x1)+k(x2-x1)(y1+y2)=0
当x1≠x2时
(x2+x1)+k(y1+y2)=0
2x0+2ky0=0
k=-x0/y0
因为中点也在直线上
直线斜率k=(y0-2)/(x0-1)
所以通过中间参数k,得到等式
-x0/y0=(y0-2)/(x0-1)
即
-x/y=(y-2)/(x-1)
中点P的轨迹
(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
是个圆
当x1=x2,也满足(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4
所以综上
中点P的轨迹
(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4

P的轨迹也是一个圆。设P（x,y)
连接OP，显然OP垂直于PA。
OP^2+PA^2 =OA^2
x^2+y^2+(x-1)^2+(y-2)^2=5
配方整理得，
（x-1/2)^2 +(y-1)^2=5/4

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