已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:02:19

已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹
已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹

已知圆O的方程为x^2+y^2=9,求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹
设直线斜率为k P(x,y)
弦AB A(x1,y1) B(x2,y2)
x1^2+y1^2=9
x2^2+yy^2=9,相减
(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
x1+x2=2x y1+y2=2y (y1-y2)/(x1-x2)=k
所以 2x+2yk=0 x+ky=0
k=(y-2)/(x-1)
x+y(y-2)/(x-1)=0
x^2-x+y^2-2y=0
圆的弦的中点P的轨迹为 x^2-x+y^2-2y=0

点差法 设中点是(x0,y0) 圆上的两点为(x1,y1) (x2,y2) 那么有x1+x2=2x0 y1+y2=2y0 x1^2+y1^2=9 x2^2+y2^2=9 两式相减得到(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/(y1+y2)=-x0/y0 而又经过A(1,2) 所以 k=-x0/y0=(y0-2)/(x0-1) 得到P的轨迹方程为(x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4

P是弦AP的中点
所以OP垂直于AP
所以P的轨迹是以A、P为直径端点的圆
所以P：x(x-1)+y(y-2)=0

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