作业帮利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:57:32
利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
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构造函数f(t)＝t^t (t>0),易得
f"(t)＝t^t·(lnt+1)²+t^(t-1)·(t+1)>0,
∴f(t)＝t^t (t>0)是下凸函数.
故依Jensen不等式,可得
f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]
→m^m+n^n≥2[(m+n)/2]^[(m+n)/2].
上式两边平方,即得
(m^m+n^n)^2≥4[(m+n)/2]^(m+n).
显然,m＝n时,上式取等.
故原不等式得证.
求一下y=x^x函数在x>0的凹凸性（二阶导数），根据凹凸性与（中点函数值和函数值的平均数谁大谁小，凹函数后者大）之间的关系两边平方即可证得不等式。
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利用函数的图形的凹凸性证明不等式(m^m+n^n)^2>4((m+n)/2)^(m+n)),其中m>0,n>0.
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